ローレンツ変換に関する質問です。

質問

(k^0, k^1, k^2, k^3)を4元運動量とする。この運動量に本義ローレンツ変換（detΛ=1, Λ^0_0≧1)をほどこしたものを、(k^0', k^1', k^2', k^3')とする。このときk^0とk^0'は同符号(つまりsgn(k^0)=sgn(k^0')であることを示してください。

回答No.1

pfarm

本義ローレンツ変換によって、4元運動量の変換は以下のようになります。

k'^μ = Λ^μ_ν k^ν

ここで、μ, νは0から3までのインデックスで、Λ^μ_νはローレンツ変換行列の成分です。

ここで、detΛ=1という条件から、ローレンツ変換行列の行列式は1となります。また、Λ^0_0≧1という条件から、ローレンツ変換によって時間成分k^0が増加することはありません。

つまり、k^0' = Λ^0_ν k^ν であり、k^0' - k^0 = Λ^0_ν (k^ν - k^0)と表せます。ここで、k^ν - k^0をr^νとおくと、

k^0' - k^0 = Λ^0_ν r^ν

となります。ここで、r^νは空間成分の差であるため、r^νr^ν = - (r^0)^2 + (r^1)^2 + (r^2)^2 + (r^3)^2 ≦ 0となります。

一方、ローレンツ変換行列の逆行列は、Λ^-1^μ_ν = Λ^ν_μであるため、逆変換を行うことでk^νを求めることができます。

k^ν = Λ^ν_μ k'^μ

k^0 = Λ^0_0 k'^0 + Λ^0_1 k'^1 + Λ^0_2 k'^2 + Λ^0_3 k'^3

k^0 - k^0' = Λ^0_1 (k'^1 - k^1) + Λ^0_2 (k'^2 - k^2) + Λ^0_3 (k'^3 - k^3)

ここで、k^0 - k^0'が正である場合を考えます。この場合、Λ^0_νは正となります。また、k'^μはk^μと異符号であることが必要です。つまり、k^0とk^0'が同符号であることが示されます。

同様に、k^0 - k^0'が負である場合についても考えると、k^0とk^0'が同符号であることが示されます。したがって、k^0とk^0'は常に同符号であることが示されます。

お礼

k^0' - k^0 = Λ^0_ν k^ν-k^0
であって、 Λ^0_νは共通因数にはならないと思います。
また、私の計算では、(Λ^{-1})^μ_ν=Λ^ρ_μη_{ρν}
(η_{ρν}はミンコフスキー計量)です。
どのように(Λ^{-1})^μ_νを導出したのですか?