ローレンツ変換、時間の問題

質問

ローレンツ変換、時間の問題
理系の大学一年生です。現在相対論のローレンツ変換を勉強しています。次の問題について分からないことがあります。

v＝0.8cで運動している物体の１分は静止系で見ると何分か？

静止系に対して、x軸方向に一定速度ｖで動く慣性系のローレンツ変換が、
t^(慣性系の時間)＝(－v^2x/c^2＋t(静止系の時間))/√1-v^2/c^2
であるところまでは分かりました。おそらくこの式のt^に1[分]、ｖに0.8cを代入して計算するのだろうと思ったのですが、ｘの位置によってｔは違う値が出てくると思います。そうすると、この問題に対する答えは、１つではなく、ｘの位置によっていくらでも出てきてしまうのでしょうか？
なんとなく問題の雰囲気としては、答えは１つだけのような気もするのですが、どうなのでしょうか？手元に答えがないので、教えてくださると幸いです。

回答No.4

alphaone

X´系で位置 0、 0秒のところで、出来事Aが起こり、X´系で位置 0、60秒で出来事Bが起きたとします。 質問は出来事А、BをX系で見たときにその時間間隔はいかにと云うことですのでt={ t´＋(v／c^2)X´}/√1-ｖ^2/ｃ^2に出来事Aの数値をいれます。ｔ´は0秒、ｖは0．8ｃ、X´は0をそれぞれいれます。出てきた数を"t"の０とします。 ｔの０は0です。 tの0＝0
次は出来事Bの数値を同じようにいれます。ｔ´は60秒、ｖは0，8ｃ、X´は0をそれぞれいれます。出てきた数を"t"の1とします。
ｔの1は100です。tの1＝100. X系の出来事A、Bの時間間隔はtの1"-"tの0=100、百秒になりました。

回答No.3

noname#185706

>t^(慣性系の時間)＝(－v^2x/c^2＋t(静止系の時間))/√1-v^2/c^2

次元の合わない箇所がありますね。

>「0.6分」と出ました。たぶんこれで合っているかと思います。

残念ながら間違いです。
運動している系の時計は静止系の時計に比べて遅れます。
上の式を使うのなら、 Δt' = ・・・　として Δx =　・・・。
あるいは、逆変換の式から　Δt = ・・・　として Δx' = ・・・。

補足

お礼が遅れました。回答ありがとうございます。
よく調べたら、v^2ではなく、v^1でした。
もう一度正しい答えを検証してみます。

回答No.2

yokkun831

おっしゃるとおりですが，

位置によって，時刻の変換は変わっても，
「時間」の変換は同じ，

ということですよね？

運動系内の時計が，静止系から見て前後位置で時刻が1分異なっていても，
両方が刻む1分は同じなのです。２つの時刻を変換して差をとってみればわかるでしょう。

お礼

なるほど、t、t^は「時刻」なんですね。そこが分かってなかったみたいです。
今ｔ^の時間差が１分になるようにして計算したところ、ちゃんとｘが消えてくれて、「0.6分」と出ました。たぶんこれで合っているかと思います。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

なぜ「ｘの位置によってｔは違う値が出てくる」と思ったのですか?

補足

回答ありがとうございます。
代入した式をt＝～と整理してみると、tはxの関数になってしまうからです。