三角比

質問

以前、「「０°≦θ≦１８０°　のとき、Tanθ＝１／√３を満たすθを求めなさい
」という問いですが、
答えがθ＝３０°になるのはわかるのですが、なぜ１５０°ではだめなのでしょうか。」

という質問をした者ですが、例えば、０°≦θ≦１８０°のとき、sinθ=√３/２なら答えはθ=60°、120°になりますが、上記の問いでは１５０°にならない理由を初学者にもわかりやすく教えていただけないでしょうか。再度の投稿ですみませんが、宜しくお願い致します。

回答No.4

kiha181-tubasa · ベストアンサー

時間をかけてじっくりお読みください。
前置きが長くなりますが，数学の教科書に書いてあるようなことを再掲します。根本的なことなので辛抱して読んでください。

初めは三角比は「直角三角形の辺の比」として導入されます（学びます）ね。
そして，角θに対して，sinθ,cosθ,tanθの値を得たのでした。
（中学校の頃は国語の先生が「水車が停車した推定で」なんていう記憶術を教えてくれたっけ。
つまり，sinθ＝垂/斜，cosθ＝底/斜，tanθ＝垂/底なんてね）

ここで重要なのは「角θに対して，sinθ,cosθ,tanθの値を得た」という事です。つまり，θの値に対してsinθ,cosθ,tanθの値が決まるという事になります。だから，sinθ,cosθ,tanθはθを変数とする関数と考えられるのです。
これで，直角三角形の辺の比の呪縛から解き放たれました。

それでは，sinθ,cosθ,tanθとは何なのか？
原点Ｏを中心とした半径rの円を考えます。円周上の点をPとしその座標を(x,y)とします。これをよく「円周上の点をP(x,y)とする」などとまとめて表現しますね。

半径OPがx軸の正の向きとなす角をθとします。
また，y/r.x/r,y/xは半径rの値にかかわらずにぴたりと定まります。値を決めるのはθだけなのです。
（例えば，rが２倍になるとxもyも２倍になるからです。すべての円は相似なのですね）
これらはθだけで決まる値として
y/r＝sinθ.x/r=cosθ,y/x=tanθ
と定めるのです。
つまり，sinθ=y/r.cosθ=x/r,tanθ=y/x
これが三角関数の定義（このように定めますという約束事）なのです。

半径OPがx軸の正の向きとなす角をθだから，Pが第２象限の点になると，90°＜θ＜180°になるしPが第３象限の点になると，180°＜θ＜270°……となりますね。

そこで「０°≦θ≦１８０°　のとき、Tanθ＝１／√３を満たすθを求めなさい……なぜ１５０°ではだめなのでしょうか」という疑問を解明しましょう。

①　円を描き，x軸の正の向きと150°をなすように半径OPを描きます。180°までの残り角は30°です。
②　その残り角のところに「おなじみの三角定規」を置いたと考えてみると，「1：2：√3」の直角三角形が当てはまり，「r(半径)＝2，y＝1，x＝-√3」（x座標にはマイナスがつきますよ）と判明します。
③　これから，tan150°＝1/(-√3)=-(1/√3)となってしまうのです。だから150°は正解でないのです。
④（おまけ）θの範囲をもう少し広げて「0°≦θ＜360°」とすると，「1：2：√3」の三角定規が当てはまるところがさらに出てきますね。θ＝210°（180°+30°）のところです。そこはｘ＜0.ｙ＜0ですので，y/x>0となり，tanθ=1/√3を満たします。

お礼

ありがとうございました！

回答No.5

asuncion

第1象限の角
sin > 0, cos > 0, tan > 0
第2象限の角
sin > 0, cos < 0, tan < 0
第3象限の角
sin < 0, cos < 0, tan > 0
第4象限の角
sin < 0, cos > 0, tan < 0

150°は第2象限の角だから、tanの値は負

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

asciiz

三角関数をグラフでとらえてみましょう。
x＝θ
とし、
y=sin(x)
y=cos(x)
y=tan(x)
というグラフを想像できるようになると、この質問も先日の質問も簡単にわかります。

(参考) https://snowtree-injune.com/2022/01/04/sin90-ma001/

y=sin(x) は、原点(0,0)で始まって、上下に山を描くグラフです。
+1と-1の間でなだらかに変化し、360°で一周してy=0位置まで戻ります。
360°以上に関しても定義でき、0°からの曲線と同一の物を繰り返します。
上記ページ最初の図の、赤い曲線です。

y=cos(x)は、(0,1)の点から始まって、上下に山を描くグラフです。
このグラフは、90°ずらした sin(x) のグラフと一致します。
360°で一周してy=1位置まで戻り、それ以降繰り返すことも一緒です。
上記ページ最初の図の、青点線の曲線です。

さて、y=tan(x)ですが、これはsin(x)と同様に原点から開始するのですが、90°になるにしたがって無限に上方に伸びていくものとなります。※ tan(90°) は、分母がゼロになってしまうので定義不可
90°を超えると、今度は無限のマイナスから戻ってくる形になり、180°の地点で0になります。
180°以降のグラフは、またプラス方向に伸びていき、これは0°からのグラフと一致します。
0から始まって、270°に近づくにしたがってどんどん上方に伸びていきます。
270°は定義不可、270°を超えると、値がマイナスに飛んで、360°の地点で0になります。
180°から既にグラフは繰り返されていましたが、360°以降も0～360°のグラフを繰り返します。
後記ページ2番目の図の、赤い曲線です。

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さてここで、y=sin(30°)＝1/2=0.5、y=tan(30°)＝1/√3≒0.577、という高さに線を引いてみましょう。

y=0.5という直線と、y=sin(x)と言う曲線は、30°と、150°のところで交差します。(添付図1、緑線)
一方、y=0.577という直線と、y=tan(x)と言う曲線は、30°と、210°のところで交差します。(添付図2)

tan(150°)というのは、-0.577というマイナスの数値なんです。
なので、150°という回答は間違いになります。

そして今回の質問の、sinθ=√３/２ となるθを求めるなら、
y＝√３/２≒0.866 という直線を引いてみます。(添付図1、黄緑線)
交差するのは、60°と120°です。
それ以外の回答は、その2値を±360°していったところで繰り返し交差します。

お礼

図解をありがとうございます！

回答No.2

sokohakatonaku

tan150°は
負の値ですね。グラフを書けばわかります
tan=sin/cos
より
tan150=(1/2)/(-√3/2)
=-1/√３
となります

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

nihonsumire

http://kentiku-kouzou.jp/suugaku-tan150.html