中学三年数学です

質問

教えてくださいお願いします
長さが１０の線分ＡＢを直径とする半円周上に、線分ＡＣの長さが６となるような点Ｃをとる。ＣからＡＢへひいた垂線とＡＢとの交点をＤとし、Ｃにおける円の接線と、ＢＡの延長線との交点をＥとする。
（１）ＣＤの長さを求めよ。
（２）∠ＡＢＣ＝ａ°とするとき、∠ＣＥＢをａの式であらわせ。
（３）ＡＥの長さを求めよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞長さが１０の線分ＡＢを直径とする半円周上に、線分ＡＣの長さが６となるような点Ｃをとる。
＞ＣからＡＢへひいた垂線とＡＢとの交点をＤとし、Ｃにおける円の接線と、ＢＡの延長線との交点を
＞Ｅとする。
ＡＢが直径だから、∠ＢＣＡ＝９０°　……（１）より、
△ＡＢＣは直角三角形だから、
ＢＣ^2＝ＡＢ^2－ＡＣ^2＝１０^2－６^2＝６４　より、ＢＣ＝８

＞（１）ＣＤの長さを求めよ。
△ＢＡＣと△ＣＡＤとで、
∠Ａ共通
ＣＤ垂直ＡＢだから、∠ＣＤＡ＝９０°　と（１）より、
∠ＢＣＡ＝∠ＣＤＡ
よって、２つの角が等しいから、
△ＢＡＣ相似△ＣＡＤ　だから、
ＢＡ：ＣＡ＝ＢＣ：ＣＤより、１０：６＝８：ＣＤ
よって、ＣＤ＝２４／５

＞（２）∠ＡＢＣ＝ａ°とするとき、∠ＣＥＢをａの式であらわせ。
△ＡＢＣで、∠ＣＡＢの外角だから、∠ＣＡＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＡ＝ａ°＋９０°
接弦定理より、∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＝ａ°　……（２）
よって、△ＣＡＥで、
∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＣＡＥ－∠ＡＣＥ
＝１８０°－（ａ°＋９０°）－ａ°＝９０°－２ａ°

＞（３）ＡＥの長さを求めよ。
ＡＥ＝ｘとおく。　ＢＥ＝ＡＥ＋ＡＢ＝ｘ＋１０
△ＢＣＥと△ＣＡＥとで、
∠Ｅ共通
∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＣ＝ａ°　と（２）より、
∠ＣＢＥ＝∠ＡＣＥ
２つの角が等しいから、
△ＢＣＥ相似△ＣＡＥ
よって、ＢＣ：ＣＡ＝ＢＥ：ＣＥ＝ＣＥ：ＡＥより、
８：６＝（ｘ＋１０）：ＣＥより、８ＣＥ＝６（ｘ＋１０）
８：６＝ＣＥ：ｘより、６ＣＥ＝８ｘ　ＣＥ＝（4/3）ｘ
２式から、ＣＥを消去すると、（32/3)ｘ－６ｘ＝６０より、ｘ＝９０／７
よって、ＡＥ＝９０／７

図で確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました
また、宜しくお願いします

回答No.1

suko22

(1)　△ABCでAC:AB=6:10=3:5→斜辺が5でその他の一辺が3、
　　また円周定理より∠ACB=90°
　　よって、この三角形は辺の比が3：4：5の直角三角形であることがわかる。
　　ゆえに、AC:BC=3:4,AC=6なので6:BC=3:4
　　∴BC=8
　　△ABCの面積を考えることにより、(1/2)*AC*BC=(1/2)*AB*CDが成り立つから、
　　(1/2)*6*8=(1/2)*10*CD
　　∴CD=24/5
　　　（△ABC∽△ACDを使って、辺の比から導出してもよいです）

(2)　円と接線の関係より、∠ABC=∠ACE
　　よって∠ACE=a°
　　∠BCE=∠BCA＋∠ACE=90+a
　　△CEBの内角の和は180°だから、
　　∠CEB=180°-∠ABC-∠BCE=180-a-(90+a)=90°-2a°

(3)　△CBE∽△ACE（証明は自分でやってみてください）でCB:AC=8：6より
　　相似比は4：3になる。よって面積比は4^2:3^2=16:9となる。・・・（※）
　　ここで△ACEの面積をSと置くと、
　　△CBE:△ACE=△ABC＋△ACE：△ACE
　　　　　　　　=(1/2)*10*(24/5)＋S：S
　　　　　　　　=24＋S:S=16:9（∵（※）より）
　　これを解くとS=216/7

　　△CBEに目を移し、線分ACが2つの三角形に分けていることに注目すると、
　　AE:AB=△ACE：△ABC（←高さが同じなので、面積が底辺の比で表せる）
　　AE:10=216/7:24
　　　　　=9:7
　　∴AE=90/7

かな？

お礼

ありがとうございました
数学は苦手ですので助かりました