平行四辺形と正三角形の結ぶ線分

質問

専修大学松戸高等学校の平成15年,併願推薦の問題です。
8．四角形ABCDは平行四辺形で,∠ABC=75°,AB=3,BC=4√2である。
　 また、三角形EBCは辺BCを1辺とする正三角形，三角形FABは辺ABを1辺とする正三角形である。
(2)線分EFの長さは√ウエである。
(3)辺BFの延長と辺BCの交点をGとすると,CG:CE=1:(オ+√カ)である。
この2問です。
マークシート式のためそれぞれに1桁の数字が入ります。
正三角形は2つとも平行四辺形の中側に向いています。
ABCDは左上から時計の反対周りです。
EFを延長して、BCとの交点をとると垂直になると思ったので、そこから三平方の定理で求めようと思ったのですが、多項式になってしまい明らかにおかしい回答になってしまいました。
もう1問もメネラウスの定理で強引に解こうと思ったのですが無理でした。((2)が解けていないので)
わかりづらい説明ですが、よろしくお願いします。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

叩いていて、最後の行で錯誤に気が付きました。
正しい解は３＋√３の様です。
この錯誤が福と出て、解法を思いつきましたので、錯誤のまま投稿します。
計算がとまった時点での後を先に書きます。

＝ＱＨ：ＱＥ＝１：（１＋２＋√３）・・・あれれｒｒｒｒｒ
＝１：（３＋√３）

**********************含錯誤
180915様
　貴殿のご出題となると、かなりのものと推測し今日まで手を付けずにいました。案の定(2)でさえなかなか解けず。(3)では手も足もでず諦めて、＃３様の解答を読む事にしました。ところが当方の読解力不足で、これまた途中で挫折致しました。解は高等学校の知識で充分であり２＋√３である事はさほどの時間がかからぬ事は貴殿の行間からも読み取れ、解は貴殿が始めから御存知である事も明白です。

　さて本問題の題意、ですが(2)は(3)のＨＩＮＴにはなっていますが、ほんのわずがであり、せめて小さい方の正三角形の辺が３でなく２なら・・・。(2)(3)は独立した問題と言える気がします。余程巧みな解法でない限り、高等学校の入学試験問題としては困難で、どう考えてもＳＩＮ１５度に帰着し、果たして適切な出題なのか疑問に思えます。当方の＜解答＞は＜２＋√３＞より逆推した物であり、とても＜解答＞とは言えず＜ご報告＞となります。途中で点Ｐを取りますが、この取り方は＜プトレマイオスの定理の解法のひとつ＞に通じる面があり蛇足ながら付記させて頂きます。今ＦＩＬＥを見た所点Ｐではなく、点Ｈとしてありました。

　本論　＜ご報告＞(2)の解法
与えらられた数値、＜３と４√２は無い＞とします。
また様々な角度は既知とします。
直線ＢＦ上にＥから下ろした垂線の足Ｈ。
直線ＥＨとＢＣの交点Ｑ。
△ＥＱＣと△ＢＧＣは対称。
ＨＧ＝ＨＱ。
△ＣＧＱは正三角形。
ＣＧ＝ＱＧ。
線分ＥＨ上に∠ＰＥＧ＝∠ＰＧＥ＝１５度となる点Ｐを取る。
∠ＧＰＨ＝３０度。
ＥＰ＝ＧＰ＝２とする。
ＨＧ＝ＨＱ＝１
ＰＨ＝√３
ＣＧ：ＣＥ＝ＱＧ：（ＱＧ＋ＧＥ）
＝△ＱＧＨ：（△ＱＧＨ＋△ＧＥＨ）＝ＱＨ：（ＱＨ＋ＨＥ）
＝ＱＨ：ＱＥ＝１：（１＋２＋√３）・・・・あれれｒｒｒｒｒ
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
以上はあの著名な、＜加法定理が未知な時のＣＯＳ１５度、ＳＩＮ１５度を導出する図＞を記述しただけです。あの図では二重根号の知識が必要ですが、今回はそこまで出す必要が無いので使用出来ました。

　付記　プトレマイオスの定理の解法のひとつ
円に内接する任意の四角形をABCDとする
見やすくするために４辺と２対角線にnaming
AB=a、BC=b、CD=c、DA=d、対角線AC=h、対角線BD=m
対角線AC上に∠BCD=∠AHDとなる点Ｈをとる
CH=h1、HA=h2　つまり　h1+h2=h
△AHD掃除△BCD⇒d:m=h2:b⇒bd=mh2　(1)
　　△ABD掃除△HCD⇒c:m=h1:a⇒ac=mh1　(２)
　　　　(1)+(2)　bd+ac=mh

お礼

ありがとうございます。
本当にわからなかったのです。
いろいろ聞き込んで、解答が判明したので報告します。
(2)は、点Eから線分BGに垂線を引き、その交点をHとする。
△BEHは直角三角形、さらに∠EBH=45°なので、∠BEH=45°
よって、△BEHは直角二等辺三角形なので、BE=BC=4√2より、EH=BH=4
さらに、BF=AB=3なので、HF=1
よって、三平方の定理より、EF=√{(EH)^2+(HF)^2}=√{(4)^2+(1)^2}=√17でした。
(3)は、点Gから線分BEに垂線を引き、その交点をHとする。
すると、△BGHは直角二等辺三角形、△EGHは30°60°型の三角形となります。
これらの三角形の辺の比はそれぞれ1:1:√2,1:√3:2となります。
なので、EH=xとおくと、それぞれBH=x√3,EG=2x,BG=x√6となります。
1辺はBH+EH=x+x√3=(1+√3)xなので,CG=EC-EG=(1+√3)x-2x=(-1+√3)xとなります。
よって、2x+(-1+√3)x=4√2ということがわかり、x=-2√2+2√6です。
なので、(-1+√3)(-2√2+2√6):2(-2√2+2√6)
=(-1+√3)(-√2+√6):(-2√2+2√6)
=(8√2-4√6):(-2√2+2√6)
=1:
…あれ？おかしいぞ？
基本方針は合ってると思うのですが、いまいち解決に至りません。
プトレマイオスの定理ありがとうございました。
数学が好きなのでこういうのは大好きです。
ありがとうございました。

補足

お礼の後ですいません。
(3)は、点Gから線分BEに垂線を引き、その交点をHとする。
すると、△BGHは直角二等辺三角形、△EGHは30°60°型の三角形となります。
これらの三角形の辺の比はそれぞれ1:1:√2,1:√3:2となります。
なので、EH=xとおくと、それぞれBH=x√3,EG=2x,BG=x√6となります。
1辺はBH+EH=x+x√3=(1+√3)xなので,CG=EC-EG=(1+√3)x-2x=(-1+√3)xとなります。
(-1+√3):2=1:xで簡単にx=-1+√3でいきました。

回答No.3

ht1914

（３）についてです。
ＢＦの延長線がＣＥと交わる点がＧです。ＢＦの延長線にＥから下ろした垂線の足をＨとします。（これは（２）で使いました。）Ｃからも垂線を下ろして足をＩとします。△ＥＧＨと△ＣＧＩは相似形です。
ＣＧ：ＣＥ＝ＣＩ：（ＣＩ＋ＥＨ）＝ＣＩ：ＢＩです。△ＢＣＩは１５°７５°の直角三角形です。辺の比が必要なんですが習っていますか。
３０°、６０°の直角三角形ＡＢＣの場合は１：２：√３ですね。この３０°の所でＢＣを延長して２等辺三角形ＡＢＤをくっつけると１５°を作ることが出来ます。直角三角形ＡＤＣの辺の比は√２（√３＋１）：（２＋√３）：１です。
この比を使ってＣＩを出して計算するとＣＧ：ＣＥ＝１：（２＋√３）になります。
別の方法があるかもしれませんが今のところこれしか分かりません。
平行四辺形という条件を使っていません。それを使う解法があるような気がします。

お礼

習っておりますが、あくまで高校受験の問題なのであしからず。
但し、30°,60°の直角三角形の辺の比は使用してよいみたいです。
ありがとうございました。

回答No.2

ht1914

高校入試ですから余弦定理は使わずにやる方がいいのでしょうね。

（２）ＢＦの延長線にＥから垂線を下ろして下さい。垂線の足をＨとします。∠ＥＢＦ＝４５°ですから△ＥＢＨは直角２等辺三角形です。ＢＥ＝４√２ですからＢＨ＝ＨＥ＝４です。△ＥＦＨでＥＨ＝４，ＦＨ＝４－３＝１です。三平方の定理を用いて√（１７）が出てきます。
（３）辺ＢＦの延長と辺ＢＣの交点と書いてありますが？

さしあたりここまでです。

お礼

(2)は解決しました。ありがとうございます。
(3)はNo.1さんのお礼にも書いてありますが、BCがECの誤りです。

回答No.1

pirakin

(2)線分EFの長さは√ウエである。
まず、整理して考えましょう。
∠ABC=75°,∠ABF=60°,∠EBC=60°から,∠EBF=45°であることがわかります。よって、余弦定理から、EF^2=(4√2)^2+3^2-2*(4√2)*3*cos45°となります。
よって、線分EFの長さは√17　（ウ＝１，エ＝７）となります。

(3)辺BFの延長と辺BCの交点をGとすると,CG:CE=1:(オ+√カ)である。
ですが、問題の意味が少しわかりません。BFとBCの交点は、点Bでは？
問題を確認してもらえませんか？

お礼

すいません。
高校入試の問題なのであくまで中学校の数学の範囲でお願いします。
(3)はBCがECの誤りでした。