早大プレ2022 模範解答に対する疑問

質問

以下の画像の問題の(2)について質問なのですが、模範解答では、赤線より上に記述した議論で終わっていたのですが、僕は赤線より下に記述した、kが実数であることについての議論も必要だと考えました。
なぜ模範解答ではkが実数であることに対する議論がされていないのでしょうか？
教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

・まず細かいところの指摘です。
kで整理したとき、k^2の係数が(x^3 + x^2)となりますが、この係数の値が0に等しくなるとき（すなわち x = 0 または x = -1のとき）は、kの二次式ではないため、判別式による議論が意味をなさなくなります。
まず、この２つのxの値を元の式に代入し
「x = 0 は（任意の実数kに対して）解にならない」
「x = -1 は（任意の実数kに対して）解になっている」
ことを確認します。そののち、「以降は x^3 + x^2 ≠ 0 のときを考える」とすべきです。

・x^3 + x^2 ≠ 0 のとき、判別式をDとすると
D/4 = (x^2 + x)^2 + (x^3 + x^2)(4x^3 + 8x^2 + 3x - 1)
となりますが、この式はさらに変形して
D/4 = (x^2 + x) { (x^2 + x) + x (4x^3 + 8x^2 + 3x - 1) }
= (x^2 + x) x { (x + 1) + (4x^3 + 8x^2 + 3x - 1) }
= x^2 (x + 1) (4x^3 + 8x^2 + 4x)
= x^2 (x + 1) 4x (x^2 + 2x + 1)
= 4x^3 (x + 1)^3
= 4 { x (x + 1) }^3
となります。

・この判別式Dの符号からわかるのは
「x (x + 1) > 0 のときは、与えられたfの式をゼロにする実数kが存在する」
「x (x + 1) < 0のときは、どのような実数kに対しても与えられたfの式の値はゼロにならない」
ということです。先ほど考慮した x (x + 1) = 0 の場合も含めると
「0 ≦ x < 1 の範囲に解は存在しない」
「x = 1 は、任意のkに対して解となる」
「それ以外の実数xは、kの値によって解になることがある」
ということになります。

・よって、このアプローチによって得られる結果は
「三次方程式 f(x) = 0 の解の存在しうる範囲は
『x < 0 または x ≧ 1』である」
ということだけです。
今回の問題の目的とは異なります。

お礼

理解できました！
ありがとうございます！

回答No.1

f272

あなたの言うように、解が-1<x<0の範囲にあればkが実数でないことがわかりますが、そこからわかることはkが実数であるので解は-1<x<0の範囲にない、ということです。それ以上のことを言うのは困難で、議論に進展がありません。
それよりもkが実数であることを前提として、kの範囲に条件を付ければf(x)の形が決まるのでf(x)=0の解の個数がわかる、とした方が素直な議論ができます。

お礼

なるほど！
ありがとうございました！！