数学の積分です、教えてください。

質問

{（x^2)^1/3}/1+x　の原始関数を求めよ、という問題が分かりません。
分かる方、答と、途中の解法を教えてください、よろしくお願いします。

（補足）　{（x^2)^1/3}というのは、3乗根のx２乗という意味です。

回答No.1

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I=∫{(x^2)^(1/3)}/(1+x)dx
=∫ x^(2/3)/(1+x) dx
x^(1/3)=tとおくと x=t^3
I=∫ ((t^2)/(1+t^3)) 3t^2 dt
=3∫ t^4/((t+1)(t^2-t+1)) dt
=∫ {3t+1/(t+1) -(t-1/2+3/2)/((t-1/2)^2+3/4))}dt
=(3/2)t^2 +ln(|t+1|) -(1/2)ln(t^2-t+1)-(√3)tan^(-1)((2t-1)/√3)+c
t=x^(1/3)とおいて
I=(3/2)x^(2/3) +ln(|1+x^(1/3)|)-(1/2)ln(1-x^(1/3)+x^(2/3))
-(√3)tan^(-1)((2x^(1/3)-1)/√3)+c (cは任意定数)
求める原始関数は　不定積分の任意定数cをc=0とおけば　得られる。