数学の問題

質問

前回の質問は問題文が正しく打てていませんでした🥲
こちらの問題の解き方を教えてください。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

質問の漸化式を以下のように書くことにします。
Σ[k=1,n]a(k)=2a(n)+n

文字を１つ進めて
Σ[k=1,n+1]a(k)=2a(n+1)+n+1　……①
元の漸化式
Σ[k=1,n]a(k)=2a(n)+n　……②

ここで②-①を計算しますと
Σ[k=1,n+1]a(k)-Σ[k=1,n]a(k)=2a(n+1)+n+1-(2a(n)+n)
a(n+1)=2a(n+1)-2a(n)+1
-a(n+1)=-2a(n)+1
a(n+1)=2a(n)-1
これでおなじみの２項間の漸化式になりましたね。

あとは
a(n+1)-1=2(a(n)-1)
a(n)-1=b(n)とおくと
b(n+1)=2b(n)　（公比が２の等比数列）

ここで？と思うのは，a(1)が与えられていない！という事ですが，初めの漸化式でn=1とすると
Σ[k=1,1]a(k)=2a(1)+1
Σ[k=1,1]a(k)=a(1)ですから
a(1)=2a(1)+1
a(1)=-1
とわかるのですね。ですから
b(1)=a(1)-1=-1-1=-2
となり，数列{b(n)}は初項が-2で公比が2の等比数列であることがわかるのです。

従って
b(n)=-2*2^(n-1)=-2^n
a(n)-1=-2^n
a(n)=-2^n+1
となるのです。

急所は２つ
※②－①
※a(1)は直接与えれれていませんでしたが，漸化式から判明しましたね。

回答No.1

f272

Σ[k=1 to n]a[k]=2a[n]+n...(1)
でn=1としてa[1]=2a[1]+1だからa[1]=-1
また(1)のnをn+1に置き換えて
Σ[k=1 to n+1]a[k]=2a[n+1]+n+1...(2)
(2)-(1)から
a[n+1]=2a[n+1]-2a[n]+1
a[n+1]=2a[n]-1
a[n+1]-1=2(a[n]-1)
従ってa[1]=-1だからa[n]-1=-2^n
a[n]=1-2^n