中央大 理工 ２０２０ センター併用 数学

質問

中央大　理工　センター併用の数学の問題です。

楕円7x^2+10y^2=2800の有理点（x,y座標が共に有理数）、整数点（x,y座標が共に整数）において、P(-20,0)、Q(20,0)は楕円の整数点とする。
(1)　実数Aを傾きとする直線y=a(x+20)と楕円との交点を求めよ。
(2)　(1)を用いて、楕円の有理点は無数にあることを示せ。
(3)　楕円の整数点はPとQのみであることを示せ。

(1),(2)は理解できたのですが、(3)の解説がどのような方針で進めているのかわかっていません。
添付ファイルの(3)の解説で特に以下の箇所がわかりません。
○P.148の中段より下にある「よって、楕円C上の有理点は点PおよびR0で尽くされる」
　なぜ、そのように言えるのか、またそれをなぜ示す必要があるのか。
○P.149の２～４行目において、⑧が言えるとなぜそうなるのか。
○P.149の６行目からのm,m'やn,n'の登場で、どこからこのような方針がででくるのか。

理解不足が多く、申し訳ございませんが、アドバイス頂けないでしょうか。

宜しくお願い致します。

回答No.1

bellflaw17sai · ベストアンサー

>○P.148の中段より下にある「よって、楕円C上の有理点は点PおよびR0で尽くされる」
　なぜ、そのように言えるのか、またそれをなぜ示す必要があるのか。

なぜ必要かといえば
そのあと背理法を使いたいからです

(3)　楕円の整数点はPとQのみであることを示せ。

を証明したいので
まず有理点が　楕円と直線y=a(x+20)と楕円との交点しかないことを
証明し、
さらにその有理点の中に整数点がないことを証明しています

もし楕円の有理点に別の点があったらそれじゃ証明になりません

そしてなぜ「よって、楕円C上の有理点は点PおよびR0で尽くされる」

といえるのかは
……⑥

である。
のあと2行をよく読んでください

⑧でいいたいのは(10m^2-7n^2)/(10m^2+7m^2)が割れ切れず、分母のほうが大きいので
分母のほうが20の約数（1，2，4，5，10，20）でないならば
⑦式は整数ではありえない
ということです

お礼

bellflaw17sai　様

ご回答頂きありがとうございます。

大変参考になりました。

回答No.2

tmppassenger

まあ本の解法や、あなたの疑問に対する回答ではないんだけど...
そもそも(3)を解くだけなら：

7x^2 = 2800 - 10y^2 = 10 (280 - y^2)と変形すれば、右辺は2の倍数でもあり5の倍数でもあるのだから、左辺もそうである。
かつ7は2とも5とも互いに素なので、そうするとxが2の倍数かつ5の倍数、よって10の倍数でなければならない。
さらに、0≦7x^2 = 2800 - 10y^2≦2800なのだから、x^2≦400。今xは10の倍数なのだから、x=10z (zは整数）と置くと、z^2≦4なので、zは-2, -1, 0 , 1, 2しか取り得ない。
このうち、z=2, -2の場合しかダメなのは、計算するとすぐにわかる。

... なので、(3)を解くだけならこんな感じでいける。(2)の続き、ということに拘る必要は全くないんですがね...

お礼

tmppassenger　様

ご回答頂きありがとうございます。

大変参考になりました。