数3 高校 楕円直線 1999年 中央大学過去問

質問

現在高３の数3を履修しています。
楕円の問題です。(1)は分かったのですが、(2)が全然分からないです。答えのみは配信されているのですが、途中式が分かりません。
よろしくお願い致します。

問題文↓
次の問に答えよ。
(1)楕円 (x-4)^2/4 + (y-3)^2 ＝ 1と直線 y＝mx が異なる2点で交わるようなmの範囲を求めよ。

答:3-√3/3＜m＜3+√3/3

(2)上の楕円と直線が異なる2点P，Qで交わるとき、PとQの中点はある楕円の上を動く。その楕円の方程式を求めよ。

答:(x-2)^2/13 + 4(y-3/2)^2/13＝1

(2)の途中式をお願いしたいです。
文字など見にくかった場合、写真を参考にして下さればと思います。
よろしくお願いします┏●

√＝ルート
^2＝2乗
3/2＝2分の3

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

投稿内容を見直したところ「ぜんぜんわからない」とありますので、本来は計算用紙で済ませるところを細かく記述します。
線分PQの中点を(X, Y) とすると、
X=4(1+3m)/(1+4m^2), Y=m*X
を得ます。第二式の m=Y/X を第一式に代入し、
X=4{1+3*(Y/X)}/{1+4*(Y/X)^2}
=4X{X+3Y}/{X^2+4Y^2}.
X≠0 ですから両辺をＸでわり、さらに分母をはらうと、
X^2+4Y^2=4(X+3Y)
となり、ＸおよびＹを平方完成して整理してください。

お礼

途中式までありがとうございます！
お陰様で解くことができました

回答No.1

gamma1854

P(X, Y) とおくと、X=4(1+3m)/(1+4m^2), Y=m*X
ですから、ｍを消去して、
1 = 4(X+3Y)/(X^2+4Y^2), (∵X≠0)
すなわち、
(X - 2)^2 - 4 + 4(Y^2 + 3Y) = 0 ⇔
(x - 2)^2 + 4(Y - 3/2)^2 =13
※途中特に考えるようなところはありません。

お礼

お礼し忘れていました、
ありがとうございます！