積分

質問

次の積分を計算せよ。という問題です。
∫（1+logx）^2 dx
どのように解いていけばいいのでしょうか。
お願いします。

回答No.1

noname#137826 · ベストアンサー

u = log(x) と置換した後で部分積分を繰り返せばよいでしょう。

∫(1+logx)^2 dx
=∫(1+u)^2exp(u) du
= (1+u)^2exp(u) - 2∫(1+u) exp(u) du + C
= (1+u)^2exp(u) - 2(1+u)exp(u) + 2∫exp(u) du + C
= (1+u)^2exp(u) - 2(1+u)exp(u) + 2exp(u) + C
= (1+u^2)exp(u) + C
= (1+(log(x))^2)x + C

お礼

ありがとうございます。
とても参考になりました。

回答No.3

R_Earl

ANo.2ですが、最初の展開の式を間違えてました。
正しくは

∫（1+logx）^2 dx
= ∫(1 + 2logx + (logx)^2)dx

です。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

R_Earl

∫（1+logx）^2 dx
= ∫(1 + logx + (logx)^2)dx
と展開し、
∫(1 + logx + (logx)^2)dx
= (∫dx) + (∫logxdx) + (∫(logx)^2dx)
という感じにバラバラにしてから積分してみましょう。

∫logxdxは部分積分で計算できますよね。
(∫(logx)^2dx)も∫logxdxとほとんど同じ方法で計算できます
(こちらも部分積分)。

お礼

ありがとうございます。
バラバラにするととても考えやすいですね。