三角関数の合成

質問

-1/2cosx+‪√‬3sinxの合成結果が

=cos2/3πcosx+sin2/3πsinx
=cos（x-2/3π）

になるのは何故ですか？

回答No.2

kiha181-tubasa

三角関数の合成は，加法定理の逆みたいなものです。

例えば
sin(x+π/3)
=sinxcosπ/3+cosxsinπ/3
=sinx*(1/2)+cosx*(√3/2)
(1/2)sinx+(√3/2)cosx
となりますね。この逆をたどれば「三角関数の合成です」

さて，ご質問の
-1/2cosx+‪√‬3sinx
ですが，√‬3sinxは(√‬3/2)sinxの間違いではないですか。
勝手ながら-1/2cosx+(‪√‬3/2)sinxと解釈して回答します。

（１）まず，教科書べったりの泥臭い方法から。でもこれが一番大事です。
教科書には多分以下のように書いてあります。（図が描けないので言葉で説明します）
-1/2cosx+(‪√‬3/2)sinx
=(‪√‬3/2)sinx+(-1/2)cosx
として考えます。
xy平面上に点P(√3/2, -1/2)をとる。原点Oと点Pとの距離は
OP=√((√3/2)^2+(-1/2)^2)=√(3/4+1/4)=1
線分OPがx軸の正の向きとなす角は-π/6
(‪√‬3/2)sinx+(-1/2)cosx
=sin(x-π/6)　（教科書には図を描いてすぐこの結果が書いてありますね）

そこには
√‬3/2=cos(-π/6)，-1/2=sin(-π/6)
であることから
(‪√‬3/2)sinx+(-1/2)cosx
=sinxcos(-π/6)+cosxsin(-π/6)
=sin(x-π/6)
となる理由があるのですね。

さて，質問はcosでした。これも
sin(π/2-x)=cosx
cos(π/2-x)=sinx
などの定理が役立ちます。そして
sin(x-π/6)=cos(π/2-(x-π/6))=cos(π/2+π/6-x)=cos((2/3)π-x)
=cos(-(x-(2/3)π))=cos(x-(2/3)π)
（cos(-x)=cosxでしたね）

（２）直接cosで作ってみましょう
-1/2cosx+(‪√‬3/2)sinx
でcosの加法定理を思い出すと
cosy=-1/2, siny=√‬3/2
となる角yを探します。cosは(x座標/半径)，sinは(y座標/半径)であることから，xy平面上に点Q(-1/2, √3/2)をとって考えます。
線分OQがx軸の正の向きとなす角は2π/3であるから
-1/2=cos(2π/3), √3/2=sin(2π/3)
ですね。これを使うと
-1/2cosx+(‪√‬3/2)sinx
=cos(2π/3)cosx+sin(2π/3)sinx
=cosxcos(2π/3)+sinxsin(2π/3)
=cos(x-(2π/3))
となります。

回答No.1

asuncion

元の式、間違ってませんか？