三角関数の合成の問題

質問

次の式をｒsin(x±α)またはｒcos(x±α)、
ただしｒ＞０、αは鋭角の形に表せ。という問題で
√３cosx＋sinx　
をそのまま答えを出すと
２sin(x－(π／６))
になるんですが答えには
２cos(x＋(π／３))
と書いてあります。与式の順番を入れ替えたらこの
答えになるということは分かるのですが、なぜそう
しなければならないのでしょうか？お願いします。

回答No.3

killer_7

#2さんは公式がsinではじまるから，とおっしゃっておられますが，
cosへ合成することももちろん可能です．

√3 cos(x) + sin(x) = 2((√3/2)*cos(x) + (1/2)*sin(x))
を見て，cos(a)=√3/2, sin(a)=1/2をみたすaとしてa = π/6をえらぶと，三角関数の加法定理から
（与式）
= 2(cos(π/6)*cos(x) + sin(π/6)*sin(x))
= 2(cos(x)*cos(π/6) + sin(x)*sin(π/6))
= 2cos(x-π/6)
と合成できます．
sinに合成したければ，sin(a)=√3/2, cos(a)=1/2として，たとえばa=π/3とえらぶと，
（与式）
= 2(sin(π/3)*cos(x) + cos(π/3)*sin(x))
= 2(sin(x)*cos(π/3) + cos(x)*sin(π/3))
= 2sin(x+π/3)
となります．

問題文もこのことを考慮してかsin, cosいずれで考えてもよいように書かれていますし，
どのように合成しても本質的に差はなく，
問題文に制約がなければどの形で答えてもよいでしょう．

回答No.2

noname#26816

解答間違ってませんか？2sin(x+(π/3))だと思います。
実際、問題文にx=0を代入してみると、√３cos0＋sin0=√３、一方２cos(x＋(π／３))にx=0を代入してみると2cos(π／３)=1となり、答えが異なることがわかります。

じゃあなぜ2sin(x+(π/3))になるか？
√３cosx＋sinx　=sinx+√３cosx
=(1+(√３^2))sin(x+a)
=2sin(x+a)
tan(a)=√３よりa=(π／３)
となります。ちなみに、2sin(x+a)=2cos(x+a-(π/2))となるので、2cos(x-(π/6))という答えでも正解です。このsinとcosを結びつける関係式は、単位円を図に書いて、実際にそうなることを確かめてみるといいと思います。

＞与式の順番を入れ替えたらこの
答えになるということは分かるのですが、なぜそう
しなければならないのでしょうか？

質問の意図がわからないのですが、公式がsinから始まるから、としかいいようがないような気がします。それとも○cosx+△sinx=√(○^2+△^2)cos(x-a), tan(a)=△/○　みたいな公式があるんでしょうか？私が高校の頃はそんな公式は習わなかったような気がするのですが。そういう公式があったとして、それをそのまま解いて、2cos(x-(π/6))という答えが出てきたとすれば、正解ですので、何も問題ないと思います。

回答No.1

dolphin12

sin x=cos(x-π/2)なのでどちらでも正解ですよ。