確率 トーナメント

質問

こちらの問題が分かりません。
解説お願いしたいです！

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

前半
実力が均等であれば、誰が優勝する確率も 1/8

後半
問題文の日本語が解読しづらいですが、「トーナメント表がどう埋まるかということも含めてAが優勝する確率」と解釈します。

まずトーナメント表がどう決まるかという確率のみを考えると
①AとHが1回戦で対戦する確率 1/7
②AとHが互いに1回戦を勝ったとき、2回戦で対戦する確率 2/7
③AとHが1回戦と2回戦を勝ったとき、決勝戦で対戦する確率 4/7

①の条件下でAが優勝する確率
(1/3) * (1/2) * (1/2) = 1/12
②の条件下でAが優勝する確率
Hが1回戦で勝つ場合は
{ (1/2) * (2/3) } * (1/3) * (1/2) = 1/18
Hが1回戦で負ける場合は
{ (1/2) * (1/3) } * (1/2) * (1/2) = 1/24
よって (1/18) + (1/24) = 7/72
③の条件下でAが優勝する確率
Hが1回戦も2回戦も勝つ場合は
{ (1/2) * (2/3) } * { (1/2) * (2/3) } * (1/3) = 1/27
Hが2回戦で負ける場合は
{ (1/2) * (2/3) } * { (1/2) * (1/3) } * (1/2) = 1/36
Hが1回戦で負ける場合は
{ (1/2) * (1/3) } * (1/2) * (1/2) = 1/24
よって (1/27) + (1/36) + (1/24) = 23/216

以上①②③より
(1/7) * (1/12) + (2/7) * (7/72) + (4/7) * (23/216)
= (1/84) + (1/36) + (23/378)
= (9/756) + (21/756) + (46/756)
= 76/756 = 19/189

…と、ここまで書いて思ったのですが
・Hが優勝する確率は (2/3)^3 = 8/27
・H以外の7人が優勝する確率は均等で、その値は
{ 1 - (8/27) } / 7 = 19/189 …答
この方が圧倒的に楽ですね。