図形と方程式

質問

x y平面に原点O（0,0）と点A（0,2）をとる。x>0の領域に角OAB＝60度となるように点 Bを、とるとき、点 Bの軌跡をx y平面上の方程式で表すと？になる。 ？の部分が分かりません。
どなたか丁寧な説明よろしくお願いします。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

図を描くと，x軸とのなす角が120°（あるいは-60°でもよい）の直線になり
傾きはcos120°＝-1/√3
y軸との交点が(0,2)でx＞0の部分だから
y=-1/√3x+2　ただしx＞0　……(答)
なります。

（別解）計算でというと，角度をうまく生かす方法として「ベクトル」を使ってみてはどうでしょう。
ベクトルＯＡのことをここでは単にＯＡとかき，線分ＯＡの長さ(ベクトルＯＡの大きさ)を｜ＯＡ｜と書くことにします。

∠ＯＡＢ＝６０°
とは
ＡＯとＡＢのなす角が６０°と言う事です。

まず準備です。
Ｂ(x,y)とおくと
ＯＢ＝(x,y)
ＡＯ＝(0,-2)
ＡＢ＝(x,y-2)
となります。

∠ＯＡＢ＝６０°だから
ＡＯ・ＡＢ＝｜ＡＯ｜｜ＡＢ｜cos６０°
-2(y-2)=2*√(x^2+(y-2)^2)*(1/2)
-2(y-2)=√(x^2+(y-2)^2)
右辺≧0だからy≦2　（これは図からも明らか）
両辺を平方して
4(y-2)^2=(x^2+(y-2)^2)
3(y-2)^2-x^2=0
(√3(y-2)+x)(√3(y-2)-x)=0
y≦0かつx≧0より√3(y-2)-x＜0だから
√3(y-2)+x＝0
y-2=(-1/√3)x
y=-1/√3x+2　ただしx＞0　……(答)