数(2)の「図形と方程式」

質問

とても頭が理系向きではないので、こんな問題もできないの?!と驚かれると思いますが、よろしくお願いします☆

(1)
点Ａ(－３,０)、点Ｂ(３,０)と円(Ｘ－６)2＋（Ｙ－８)2＝４上を動く点Ｐがあるとき、△ＡＢＰの重心Ｇの軌跡。

(2)
円Ｘ2＋Ｙ2＋２Ｘ＋４Ｙ－４＝０と直線７Ｘ－Ｙ＋２＝０の２つの円の交点と点（－１，２）を通る円の方程式

※小文字の数字は、累乗です
よろしくお願いします☆

回答No.5

eliteyoshi · ベストアンサー

(1)
点Ａ(－３,０)、点Ｂ(３,０)と円(Ｘ－６)2＋（Ｙ－８)2＝４上を動く点Ｐがあるとき、△ＡＢＰの重心Ｇの軌跡。

(x-6)^2+(y-8)^2=4を変形すると、
y=±√[(4-(x-6)^2]+8
となり、円上の点Pを
P(a, =±√[(4-(a-6)^2]+8 )
とする。
△ＡＢＰの重心Ｇ(x,y)とすると、

x=(-3+a+3)/3=a/3
y=(O±√[(4-(a-6)^2]+8+0)/3
={±√[(4-(a-6)^2]+8}/3

x=a/3よりa=3x、これをy=に代入して
3y-8=±√[(4-(3x-6)^2]+8
(3x-6)^2+(3y-8)^2=4

(2)
円Ｘ2＋Ｙ2＋２Ｘ＋４Ｙ－４＝０と直線７Ｘ－Ｙ＋２＝０の２つの円の交点と点（－１，２）を通る円の方程式

A(-1,2)とし、円x^2+y^2+2x+4y-4=0と直線7x-y+2=0の交点をP,Qとする。

y=7x+2をx^2+y^2+2x+4y-4=0に代入して
25x^2+29x+4=0
(25x+4)(x+1)=0
x=-4/25, -1
だから
P(-1,-5), Q(-4/25,22/25)
となる。
求める円の方程式を、
x^2+y^2+lx+my+n=0
としてA,P,Qの座標を代入すると、

-l+2m+n=-5
-l-5m+n=-26
-100l+550m+625n=-500

この連立方程式を解くと
(l,m,n)=(9,3,-2)
だから、
x^2+y^2+9x+3y-2=0
となる。

答えあってますか？

回答No.7

hinebot

#5です。

>あと、(-1,2),(-1,-5)を通ることから
>求める円の中心のｙ座標は　{2-(-5)}/2 = 7/2 になるかと。

ここ訂正です。(^^;
求める円の中心のｙ座標は　{2-(-5)}/2 = 7/2　より、
2-7/2 (or -5+7/2)= -3/2 になります。

回答No.6

fushigichan

＃４fushigichanです。
＃５hinebotさん、ご訂正ありがとうございます！

＞50x^2+58x+8=0

５０　　　８　　　８
１　　　　１　　５０
---------------------
　　　　　　　　５８

のようにたすきがけできますので、

(50x+8)(x+1)=0
と因数分解されますね。
よって、
x=-8/50=-4/25
このとき、y=-28/25+2=22/25
(-4/25,22/25)
x=-1のとき、
y=-7+2=-5
(-1,-5)

となるので、３点(-4/25,22/25)(-1,-5)(-1,2)
を通るような円の方程式を出せばいいことになります。
おわびに計算いたします。

x^2+y^2+ax+by+c=0に代入して

16/625+484/625-4a/25+22b/25+c=0
500-100a+550b+625c=0
20-4a+22b+25c=0・・・(1)

1+25-a-5b+c=0
a+5b-c-26=0・・・(2)

1+4-a+2b+c=0
a-2b-c-5=0・・・(3)

(2)-(3)より
7b-21=0
b=3
これより、

4a-66-25c-20=0
4a-25c-86=0・・・(4)

a-6-c-5=0
a-c-11=0
a=c+11これを(4)に代入して

4(c+11)-25c-86=0
-21c-42=0
c=-2
このとき、a=9

となるので、求める方程式は、

x^2+y^x+9x+3y-2=0

のように求められました。
＃４の因数分解は訂正させていただきます。
頑張ってください！！

回答No.4

hinebot

＃４さんの方針でいいのですが…

(2)の問題
>50x^2+58x+8=0
>(50x+1)(x+8)=0
ここの因数分解間違ってます。
(50x+8)(x+1)=0
だと思います。
よって、交点の座標は(-4/25,22/25),(-1,-5)
になるかと思います。
あと、(-1,2),(-1,-5)を通ることから
求める円の中心のｙ座標は　{2-(-5)}/2 = 7/2 になるかと。

回答No.3

fushigichan

GirBabyさん、こんにちは。
軌跡の問題では、求めたい軌跡の点を仮に(X,Y)
と大文字でおいて、
ある条件を満たす点を(x,y)と小文字で表し
(x,y)と(X,Y)の関係から、(X,Y)の式を導き出せばいいです。

(1)
点A(-3,0),B(3,0)
円 (x-6)^2+(y-8)^2=4←小文字の(x,y)としておきますね。
この円上の点P(x,y)
とすると、三角形ＡＢＰの重心Ｇの座標は

Ｇ（(-3+3+x)/3,(0+0+y)/3)=(x/3,y/3)

となりますね。
つまりG(X,Y)とすると、

X=x/3
Y=y/3
なので、x=3X,y=3Y
です。

ここで、(x,y)という小文字の点は、
(x-6)^2+(y-8)^2=4
という方程式を満たしているので、ここに代入します。

(3X-6)^2+(3Y-8)^2=4
9(X-2)^2+9(Y-8/3)^2=4
(X-2)^2+(Y-8/3)^2=(2/3)^2・・・（☆）

となるので、点(X,Y)は方程式（☆）を満たしながら変化する点ですね。
これは、中心(2,8/3)半径(2/3)の円になることを示していますね。

このように、求めたい(X,Y)の軌跡を
もともとの条件(x,y)の式に、(x,y)と(X,Y)との関係式を代入することで
求めていけばいいのです。

(2)
円　x^2+y^2+2x+4y-4=0
(x+1)^2+(y+2)^2=4+1+4=9
(x+1)^2+(y+2)^2=3^2
これは、中心(-1,-2)半径3の円ですね。

直線7x-y+2=0

この直線との交点をまず求めましょう。
7x-y+2=0よりy=7x+2を円の方程式に代入すると

(x+1)^2+(7x+2+2)^2=9
x^2+2x+1+49x^2+56x+16=9
50x^2+58x+8=0
(50x+1)(x+8)=0
x=-1/50,-8
x=-1/50のとき、y=-7/50+2=93/50
x=-8のとき、y=56+2=58

よって、２交点は(-1/50,93/59)と(-8,58)

あとは、求める円の方程式を

x^2+y^2+ax+by+c=0

とおいて、３点の値を代入していけばいいですね。
そして、a,b,cを求めればいいです。
頑張ってくださいね！！

回答No.2

kirky

簡単にやり方だけ示しますね。
（１）
円上の点Ｐを（X,Y)、重心Ｇを（s,t)とおきます。
すると点Ｐの軌跡は(X－６)^2＋（Y－８)^2＝４　になりますね。
重心Ｇの座標（s,t)は、（点Ａ+点Ｂ+点Ｐ）/3だから
つまり、s=（-3+3+X)/3、t=（0+0+Y）/3　となり、
この2式をXとYについて解いて、(X－６)^2＋（Y－８)^2＝４　の式に代入したものが重心Ｇの軌跡となります。

(2)
まず直線と円の交点を求め、
x^2+y^2+ax+bx+c=0と言う方程式にそれぞれ3点を代入し、3元の連立方程式になるから、そこからa,b,cを求め、x^2+y^2+ax+bx+c=0　の式にa,b,cを代入したものが円の方程式になります。

回答No.1

eyenes

（1）重心を(a,b)とおき、円上の点を(x,y)とおく。
そこでx,yをそれぞれa,bで表し、そのx,yの式を円の方程式に代入します。　それが答えです。

（2）2交点と(-1,2)を円の方程式の一般式に代入し、l,m,nを求めるだけです。

お礼

皆さんありがとうございました☆皆さんにポイントあげたいのに・・・すみません(>_<)
またこれからも沢山お世話になると思いますのでよろしくお願いします!!!これから数学をマジメに勉強します☆