数C極方程式（基礎）の質問です。

質問

いつもお世話になりありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

数Cの極座標・極方程式の問題です。図は写真を添付させて頂きました。

（１）「Oを原点とする座標平面上に、長さがともにaである2つの線分OA, ABがある。図のように、点B　　　　がｘ軸上を動くとき、ｘ軸の正の部分とOAのなす角をθとして、ABの中点Pの軌跡を媒介変数θ　　　　を用いて表せ。」　です。

極方程式は大の苦手で、この問題もさっぱり分かりません。。
もう１つ質問なのですが、

（２）極方程式には1次関数のy=ax+bのような決まった形はあるのでしょうか?そして、極方程式には、　　　3次関数のように決まった求め方（例：まず極値のｘの値を求めて→増減表を描いて→グラフの　　　　概形のような求め方の順序です。）は存在するのでしょうか。

長くなってしまいすみません。

お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

この問題は極座標表示する必要はまったくありません。
質問がどこから来るのか理解できません。
多分、どこかに根本的な誤解があるのでしょう。

(1)簡単な考察により

P(3acosθ/2,asinθ/2)

つまり

x=3acosθ/2, y=asinθ/2

これらからθを消去して

(x/(3a/2))^2+(y/(a/2))^2=1

つまり長軸3a/2,短軸a/2の楕円です。

範囲を第１象限に限定するのかどうかは問題を精査してください。

(2)極方程式には1次関数のy=ax+bのような決まった形はあるのでしょうか?そして、極方程式には、　　　3次関数のように決まった求め方（例：まず極値のｘの値を求めて→増減表を描いて→グラフの　　　　概形のような求め方の順序です。）は存在するのでしょうか。

発想が全く逆ですね。自分で極座標表示が必要な問題にぶつかってから具体的に考えるべきです。

極方程式はたとえば

r=f(θ)

のように表したものを言いますが必要な計算が終わってグラフにするときは

r=√(x^2+y^2)

θ=arctan(y/x)

または

x=rcosθ

y=rsinθ

を用いてデカルト座標に変換したほうが慣れているせいで楽な場合が多いでしょう。

物理の力学で２体問題といわれるいわゆるケプラーの法則は極方程式を使うとまことにきれいに解けますが数学的には新しいものはなく、どのように定式化するかだけの問題です。

お礼

お礼が遅くなってしまい大変申し訳ありません。ご回答どうもありがとうございました。