三角関数の問題です。

質問

sin2θをtanθで表すと、
何故2tanθ/1+tan^2θ

cos2θをtanθで表すと、
何故1-tan^2θ/1+tan^2θ

になるかを教えて欲しいです。
よろしくお願い致します(⁎ᴗ͈ˬᴗ͈⁎)

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

面倒なのでΘを以下 t と書く。又、tan(t) = kとおく。
計算すると
1 + (tan(t))^2 = 1 + (sin(t))^2 / (cos(t))^2
= ( (cos(t))^2 + (sin(t))^2) / ((cos(t))^2) = 1/ ((cos(t))^2) である故、
(cos(t))^2 = 1/(1+k^2)

よって、
sin(2t) = 2sin(t) cos(t) = 2(sin(t) / cos(t)) * ((cos(t))^2) = 2k / (1+k^2)
cos(2t) = 2(cos(t))^2 - 1 = (2/(1+k^2)) - 1 = (1-k^2) / (1+k^2)
となる。

で、幾何学的な意味を言っておきます。
xy平面の原点Oを中心とする半径1の円 C: x^2 + y^2 = 1上の点 (-1,0)を通り、x軸とのなす角が t の直線 L を引く。Lの傾きは、k=tan(t)になることに注意。従って、直線Lの方程式は、 y = k (x+1)となる。

この直線 Lと、円Cの交点の一つは (-1, 0)。もう一つの交点を Pとすれば、『中心角は円周角の2倍』であるから、Pの座標は (cos(2t), sin(2t))である。そこで、 y = k (x+1) かつx^2 + y^2 = 1の連立方程式を解くと、cos(2t), sin(2t)が kを用いて表現される。

一度 y = k (x+1) かつx^2 + y^2 = 1の連立方程式 を解いてみてください。

お礼

丁寧に答えて下さりありがとうございます
m(*_ _)m