式の値

質問

実数p,q,r,sが
p²-qr=q²-rs=r²-sp=s²-pq≠0
をみたすとき、
p+q+r+s
の値を求めよ。

答えだけでなく求め方も教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.7

muturajcp · ベストアンサー

実数p,q,r,sが
p^2-qr=q^2-rs=r^2-sp=s^2-pq≠0
を満たすとき
p,q,r,sの中に0でないものがある
それをpとするように変数名を入れ替える
p≠0
a=q/p
b=r/p
c=s/p
とすると
q=pa
r=pb
s=pc
p+q+r+s=p(1+a+b+c)…(1)
p^2(1-ab)=p^2(a^2-bc)=p^2(b^2-c)=p^2(c^2-a)≠0
1-ab=a^2-bc=b^2-c=c^2-a≠0…(2)
1-ab=a^2-bc
bc=a^2+ab-1…(3)

(2)から
1-ab=b^2-c
c=b^2+ab-1…(4)
↓これを(3)のcに代入すると
b(b^2+ab-1)=a^2+ab-1
a^2+ab-1=b^3+ab^2-b
a^2+ab(1-b)-b^3+b-1=0
a^2=ab(b-1)+b^3-b+1…(5)

(2)から
c^2-a=1-ab
c^2=a+1-ab
↓このcに(4)を代入すると
(b^2+ab-1)^2=a+1-ab
(ab+b^2-1)^2+ab-a-1=0
b^2a^2+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0
↓これに(5)を代入すると
b^2{ab(b-1)+b^3-b+1}+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0
a(b-1)b^3+b^5-b^3+b^2+(2b^3-b-1)a+b^4-2b^2=0
a(b-1)b^3+(2b^3-b-1)a+b^5-b^3+b^2+b^4-2b^2=0
{(b-1)b^3+(b-1)(2b^2+2b+1)}a+b^5+b^4-b^3-b^2=0
(b-1)(b+1)(b^2+b+1)a+b^2(b-1)(b+1)^2=0
(b-1)(b+1){(b^2+b+1)a+b^2(b+1)}=0…(6)

(b^2+b+1)a+b^2(b+1)=0と仮定すると
(b^2+b+1)a=-b^2(b+1)…(7)
a^2(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
↓このa^2に(5)を代入すると
{ab(b-1)+b^3-b+1}(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
b(b-1)a(b^2+b+1)^2+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
↓このa(b^2+b+1)に(7)を代入すると
-b^3(b+1)(b-1)(b^2+b+1)+(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^4(b+1)^2
(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^3(b+1){b(b+1)+(b-1)(b^2+b+1)}
(b^3-b+1)(b^2+b+1)^2=b^3(b+1)(b^3+b^2+b-1)
(b^3-b+1)(b^4+b^2+1+2b^3+2b^2+2b)=b^4(b^3+b^2+b-1)+b^3(b^3+b^2+b-1)
(b^3-b+1)(b^4+2b^3+3b^2+2b+1)=b^7+2b^6+2b^5-b^3
b^4+b^3+b^2+b+1=0
となる実数bは存在しないから
(b^2+b+1)a+b^2(b+1)≠0だから(6)から
∴
b=±1

b=1の時(5)から
a^2=1
a=±1
a=1と仮定すると
1-ab=0
となって1-ab≠0(2)に矛盾するから
a=-1
↓これとb=1を(4)に代入すると
c=-1
↓これとb=1,a=-1を(1)に代入すると
p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1-1+1-1)=0
∴
p+q+r+s=0

b=-1の時
↓これを(4)のbに代入すると
c=-a
↓これとb=-1を(1)のc,bに代入すると
p+q+r+s=p(1+a+b+c)=p(1+a-1-a)=0
∴
p+q+r+s=0

お礼

ありがとうございます。
こんなに大変な問題だったとは…。

回答No.6

tmppassenger

難しいね（私にとっては）。『答えがきちんと求まるとすれば』それは 0のはず、というのは分かるけどね。

いろいろ計算すると、
p = ( 2 - √2) ^ (1/2) [大体 0.765366864730]
q = ( 2 + √2) ^ (1/2) [大体 1.84775906502257]
r = -p
s = -q
の時も p²-qr=q²-rs=r²-sp=s²-pq = 2となって、問題の条件を満たすことが分ります。

※ p^2 = 2-√2, q^2 = 2+√2, pq = √2
※ p>0, q>0 で、p+q>0

で、この場合は No.1-4さんの場合とも No.5さんの場合とも違いますが、やっぱりp+q+r+s = 0 を満たしています。

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

staratras

解法はいくつかあるでしょう。回答者は次のように考えました。

p^2-qr=k …（１）
q^2-rs=k …（２）
r^2-sp=k …（３）
s^2-pq=k …（４）　ただしk≠0　とおけます。

(1)-(2)から、p^2-q^2-qr+rs=0 ∴(p+q)(p-q)-r(q-s)=0　…（５）
以下同様に(2)-(3)から、(q+r)(q-r)-s(r-p)=0 …（６）
(3)-(4)から、(r+s)(r-s)+p(q-s)=0 …（７）
(4)-(1)から、(s+p)(s-p)+q(r-p)=0 …（８）

ここで(5)～(8)がp,q,r,sの値にかかわらず成立するようなp,q,r,sの相互関係を考えると
A：p+q=q+r=r+s=s+p=0,かつq-s=r-p=0 の場合、
または　B：p-q=q-r=r-s=s-p=0,かつq-s=r-p=0 の場合。

Aの場合　p=-q,r=-q,p=r,q=s となるので例えば(1)に代入してp^2-qr=2p^2となる。
ここでp=0と仮定すると、p=q=r=s=0となりk=0となって題意を満たさないのでp≠0だから　k≠0となる。
以下同様に考えて(2)～(4)式のkの値もk≠0となって題意を満たす。このときp+q+r+s=0

Bの場合、p=q=r=s となるので(1)～(4)式がすべてk=0となって題意を満たさない。
答え　ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝０

お礼

これもちょっと理解に苦しみます。

論理が逆なのでは…？

回答No.4

CygnusX1

ぶっちゃけた話

>>式の形が同じなので、p, q, r, s の絶対値は同じ。

>これがよくわかりません。
>なぜでしょうか？
>証明していただけないでしょうか？

これに対して、「直感です。」と答えた方が良かったですね。
最初にやったのは、p=1, q=2, r=3, s=4を代入して、各式がどのような値になるかを見て、あ、これは同じような値だな、
1^2 - 1×1 = 0
あ、どっちかが -1 か
(-1)^2 - 1×(-1) = 2
1^2 - (-1)×1 = 2
というふうに解いただけです。

その後の q = a p, r = a^2 p 云々は後付けです。数学っぽくしたかっただけ

> q=ap, r=a²p, s=a³p
>が
> p²-qr=q²-rs=r²-sp=s²-pq≠0
> をみたすようにaの値を定める

ちょっと違うかな。思考的には

仮に、
q=a p, r=a²p, s=a³p
とおいて、
p²-qr=q²-rs=r²-sp=s²-pq≠0
をみたすような a はあるのか

です。a が無ければまた別の式を考えるだけ。

次に来そうな質問
なぜ、q=ap, r=a²p, s=a³p としたのか
答えは、
「1, -1, 1, -1 となるようにするにはどんな式にすればいいかを考えた」
です。

お礼

いえ、次に私がする質問はこうです。

「もっとまともな解き方はないのですか？」

回答No.3

CygnusX1

13行目
1/a^3 は 1 - a^3 の間違いですm(_ _)m

お礼

その方針だと
q=ap, r=a²p, s=a³p
が
p²-qr=q²-rs=r²-sp=s²-pq≠0
をみたすようにaの値を定める、と読めてしまうのですが、それって変じゃないですか…？

p²-qr=q²-rs=r²-sp=s²-pq≠0
だから
q=ap, r=a²p, s=a³p
とおける、という話の流れならまだ理解はできるのですが……。

回答No.2

CygnusX1

q = a p, r = a^2 p, s = a^3 p とします。
問題の式は
p^2 - a^3 p^2 = a^2 p^2 - a^5 p^2
= a^4 p^2 - a^3 p^2 = a^6 p^2 - a p^2
1 - a^3 = a^2 -a^5 = a^4 - a^3 = a^6 - a ≠0

最初の
1 - a^3 ≠0
a^3 ≠ 1

1 - a^3 = a^2 - a^5
から
1 / a^3 = a^2 (1 - a^3)
1 = a^2

a = 1 または -1
a^3 ≠ 1
なので a = -1

q = (-1) p = - p
r = (-1)^2 p = p
s = (-1)^3 p = - p

p + q + r + s = 0

お礼

>q = a p, r = a^2 p, s = a^3 p とします。

なぜこうおけるのですか？
勝手に与えられた実数4つを2つの文字で表せるとはとても思えないのですが…。

回答No.1

CygnusX1

式の形が同じなので、p, q, r, s の絶対値は同じ。
仮に絶対値を 1 として、q = 1 とすると、r = - 1
p^2 - q r = 1 - 1×(-1) = 2
r = - 1 なので、s = 1
s = 1 なので、p = - 1 (最初の式の p^2 = (-1)^2 = 1)
ゆえに
p + q + r + s = (-1) + 1 + (-1) + 1 = 0

もちろん
p = 1, q = -1, r = 1, s = -1 でも同じです。

お礼

>式の形が同じなので、p, q, r, s の絶対値は同じ。

これがよくわかりません。
なぜでしょうか？
証明していただけないでしょうか？