複素数・証明

質問

次の問題の解法の発想が分かりません。

・3点p,q,rが複素数平面で
p^2+q^2+r^2-pq-qr-rs=0
を満たすとき、これがp,q,rが正三角形の各頂点となる必要十分条件であることを証明せよ。

解答
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p,q,rについて、arg (p-r)/(q-r)=3/πとおける。
即ち、 (p-r)/(q-r)= 1/2 ± i (√3)/2　…(1)

これより、(p-r)/(q-r)が
x^2 - x + 1 = 0　の　解であるから、　…(2)

(p-r)/(q-r)^2 - (p-r)/(q-r) + 1 = 0

整理すると

p^2+q^2+r^2-pq-qr-rs=0

となる。
これより、条件は等しいから、必要十分条件といえる。　…(3)
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(1)は(自分では試す気にならなかったので考えてませんでしたが)、
まだこういう発想ができることは理解できます。
しかし、(2)の発想自体が自分の思考の範疇外です。どうやってこのような考えにたどり着けばいいのでしょうか？　共役複素数の解を持つ方程式を暗記しておき、その二解に対して対応を示すのはごく常識的な解法なのでしょうか？

問題集の中では、この問題は３段階の難易度評価中「かんたん」に入っており、頭を抱えています。

また、(3)についてですが、必要十分条件を示すのにこの回答様式でよいのでしょうか？
P=Qならぱ、PはQの、QはPの必要十分条件ですが、これが明示されない場合、数学の記述ではP⇒Q(PはQの十分条件)しか表現されないのではないでしょうか？　結果としては同じになっていますが、疑問を感じます。

以上２点について、ヨロシクお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(2)
２個の数から、それらを解に持つ二次方程式を作る計算は、
中学で初めて二次方程式に出逢ったとき、教わったはずです。
２数が共役複素数であれば実係数二次方程式になることも、
共役複素数が何であるか知っていれば、知らないはずがありません。

(3)
質問文中の「証明」は、正三角形であれば問題の式が成り立つ
ことしか示していません。逆の成立には、別に証明が要ります。
p≠q のとき、式を満たす r が２個であることを示せばよいでしょう。

補足

いつもお世話になっております。早速のご回答ありがとうございます。

(2)について
　回答を拝見する限りのことですが、「誘導など何もなくとも」、f(x)=p,p(バー)という式を見た瞬間、(f(x)+p)(f(x)-p)=0という式が成立し、証明問題に利用できると気付くのは自明であり、説明するまでもないこと、ということなのでしょうか?　
　複素数をからめた数と式の問題はあまりやったことがなく、いい経験になりましたが、これは解答の不親切さを感じます。(あるいは、私の数学能力があまりにも低すぎて、この問題集の編纂者の想定レベルを遥かに下回っているのかもしれません。今のところ「やさしい」は楽勝、「ふつう」は五分五分で解け、「むずかしい」が２割ぐらいの正答率なので、挑戦する資格はあると思っているのですが…)

(3)
ですよね。これは感じた通りです。ありがとうございます。

回答No.2

ferien

＞(2)の発想自体が自分の思考の範疇外です。どうやってこのような考えにたどり着けばいいのでしょうか？　共役複素数の解を持つ方程式を暗記しておき、
＞その二解に対して対応を示すのはごく常識的な解法なのでしょうか？

２次方程式の解と係数の関係を使えば、方程式がすぐに作れると思います。

どうでしょうか？

お礼

そういえば、解と係数の関係で考えれば何も不思議なことはないですね。
ありがとうございます。