因数分解・・・・・

質問

素数、p,q,rに対して
2p(3)qr+19p(2)q(2)r-10pq(3)r=111111
が成り立つ時、p,q,rを求めよ、という問題について教えてください。

pqr(2p-q)(p+10q)=3*7*11*13*37

という形に変形するところまではできるのですが、そのあとどうすればいいのかわかりません。
解答では、p,qは素数であるので、3,7,11,13,37のいずれか
となって、その後2p-q=1　とp+10q=1について何やら解いているのですが、まったくわかりません・・・

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#121552 · ベストアンサー

すべて素数なのですからｐ、ｑ、ｒ、２ｐ－ｑ、ｐ＋１０ｑは３、７、１１、１３、３７のどれかになります。なので一番大きい３７がどれになるか考えましょう。
　素数ですからｐ、ｑ、ｒは全て正の整数になります。ｐ＋１０ｑがあるのでｐとｑが３７になるとは考えられません。

・ｒ＝３７の場合
　ｐ＋１０ｑ＝１１だとして、ｐとｑに３、７、１３をどう当てはめても成立しないので不適。
　ｐ＋１０ｑ＝１３だとして、こちらもどう当てはめても成立しないので不適。
　よってｒ＝３７は不適。
・２ｐ－ｑ＝３７の場合
　ｒ＝３７の場合と同じく、ｐ＋１０ｑ＝１１とｐ＋１０ｑ＝１３が成立しない。
　よって２ｐ－ｑ＝３７は不適。
・ｐ＋１０ｑ＝３７の場合
　ｐ＝７、ｑ＝３で成立
　すると２ｐ－ｑ＝１１となり、ｒ＝１３で条件に適する。

よって
　ｐ＝７、ｑ＝３、ｒ＝１３

　素数で正の整数に限定されるのであとは地道に消去法に頼るのが最適かもしれないです。あと、一番大きい数から考えるとあとが楽です。
　エレガントな解き方ではないですが参考にどうぞ。

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます！
一番大きい数を考えてあてはめればいいのですね・・・・・。

ありがとうございました！