数学

質問

すべて分かりません。解説と答えをお願いできませんか？よろしくおねがいします。

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回答No.2

asuncion

問3
曲線y = x^3 + 4x^2 + 3xと直線y = -xの交点のx座標を求める。
x^3 + 4x^2 + 3x = -xよりx^3 + 4x^2 + 4x = 0, x(x + 2)^2 = 0, x = 0, -2
よって積分区間は[-2, 0]
積分区間内では直線の方が上にある。
よって求める面積は
∫[x=-2~0](-x - x^3 - 4x^2 - 3x)dx
= [-x^2/2 - x^4/4 - 4x^3/3 - 3x^2/2][x=-2~0]
= -(-2 - 4 + 32/3 - 6) = 2 + 4 - 32/3 + 6 = 12 - 32/3 = 4/3

回答No.1

asuncion

問1
(1)yで積分してるからxは係数
∫(x + y)(x - 2y)dy
= ∫(x^2 - xy - 2y^2)dy
= x^2・y - (1/2)xy^2 - (2/3)y^3 + C

(2)積分区間が-3～3だから、奇関数部分はなくなってしまう。偶関数部分は0～3の2倍
2∫[x=0~3](3x^2 + 1)dx
= 2[x^3 + x][x=0~3]
= 2(27 + 3) = 60

問2
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
より、この2次関数のグラフはx軸とx = -2, 1の2ヶ所で交わる。
絶対値をとっているから、この積分は
-∫[x=0~1](x^2 + x - 2)dx + ∫[x=1~2](x^2 + x - 2)dx
= ∫[x=1~0](x^2 + x - 2)dx + ∫[x=1~2](x^2 + x - 2)dx
と同じ。
∴∫[x=1~0](x^2 + x - 2)dx + ∫[x=1~2](x^2 + x - 2)dx
= [x^3/3 + x^2/2 - 2x][x=1~0] + [x^3/3 + x^2/2 - 2x][x=1~2]
= (-1/3 - 1/2 + 2) + (8/3 + 2 - 4) - (1/3 + 1/2 - 2)
= 2 + 1 = 3