数学～確立～

質問

質問です。

赤球１０個を区別のできない４個の箱に分ける方法は何通りあるか？

の問題で、解説を読んだら全ての通りを書き出してるだけで、
非常に大変なんですけど、もっと数学的にスッキリと解く方法
ありませんか？？ちなみに答えは「２３通り」です！！
計算で解きたいです！！
お願いします！！

回答No.9

kumipapa

#7です。まだ締め切ってなかったんですね。もう見られないかも知れませんが・・・

#7の通り、この問題は、4つの箱に入れる球の数を(a,b,c,d)と書くと、0≦a≦b≦c≦d で a+b+c+d=10となる整数解の組み合わせの数を考えれば良いことになります。
b=a+b', c=b+c'=a+b'+c', d=c+d'=a+b'+c'+d'とおくと、

0≦a,b',c',d'で4a+3b'+2c'+d'=10 となる整数解の組み合わせの数

さらに、a,b'c'の値が決まればd'は一意に定まることから、

0≦a,b',c'で4a+3b'+2c'≦10 となる整数解の組み合わせの数

と書き換えることができます。
4a が取れる値は、0,4,8
3b' が取れる値は、0,3,6,9
2c' が取れる値は、0,2,4,6,8,10
ですから、

f(x) = (1+x^4+x^8) (1+x^3+x^6+x^9) (1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)

という多項式を考えると、このx^10以下の項の係数の和が求める組み合わせの数になります。
実際に解くと（x^11以上の項は意味がないので適当に省略します）

f(x) = (1+x^3+x^4+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+...)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)
= 1+x^2+x^3+2x^4+x^5+3x^6+2x^7+4x^8+3x^9+5x^10+...

この式のx^0からx^10までの項の係数を合計すると２３。
よって２３通り。

回答No.8

kumipapa

#7です。若干修正を
最初の方で、
＞　組を重複しないように書き出す条件は、
＞　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０
＞　ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ
ですが、０以上の整数ですから、０≦ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ です。
その１の前半で、
＞　ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ という条件を無視すると、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０
は、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０かつ０≦ａ,ｂ,ｃ,ｄ 　です。細かな事ですが気になったので。

回答No.7

kumipapa

#6です。考えてみたのですが、最後はどうしても数え上げる作業が必要になって・・・。余り冴えませんが、参考まで。

４つの箱に入れる球の数の組み合わせを (0,0,0,10),(0,0,1,9),(0,0,2,8)・・・のように(a,b,c,d)と書き出してみると分かるのですが、組を重複しないように書き出す条件は、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０
ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ
となり、この式を満たす０以上の整数 a,b,c,d の組み合わせを求める問題と同じになります。

【　その１　】
ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ という条件を無視すると、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０となる０以上の整数の組み合わせの数を求めるのは、いわゆる重複組み合わせの問題であり、4Ｈ10＝２８６通り。
この２８６通りの組み合わせには、ａ，ｂ，ｃ，ｄの順番を入れ替えたものが重複して数えられている。単純に４！で割ればよいというわけにはいかないので、ここは場合分けする。

３つの数字が同じ場合）
同じになる数字は０，１，２，３のいずれかであり、４組存在する。それぞれに対して４通りの計１６通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている。

２種類の数字が２個づつの場合）
(0,0,5,5,), (1,1,4,4,),(2,2,3,3)の３組存在する。それぞれに対して６通りの計１８通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている。

同じ数字が２個で、他の２個は異なる場合）
かなりあほくさいが、数え上げたところ１１組存在する。その数字の並べ方を考えると４×３＝１２通りの並べ方があるから、１１組×１２通りの計１３２通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている。

全て異なる数字の場合）
重複組み合わせの全数から、上で求めた場合の数を引くと、２８６－１６－１８－１３２＝１２０通りが重複組み合わせ（２８６通り）の中に含まれている全て異なる数字の組み合わせの数。これを４！で割って、１２０／４！＝５組

以上より、
３つの数字が同じ　　　　　　　４組
２種類の数字が２個づつ　　　　３組
２個同じ数字で、他は異なる　１１組
全ての数字が異なる　　　　　　５組
で合計２３組

ということで、全ての場合を書き出す方が楽なぐらい。

【　その２　】
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０
ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ
において、ｂ＝ａ＋ｂ'、ｃ＝ｂ＋ｃ'＝ａ＋ｂ'＋ｃ'、ｄ＝ｃ＋ｄ'＝ａ＋ｂ'＋ｃ'＋ｄ，（ｂ',ｃ',ｄ'≧０）とおけるので、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０　，　ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ
は、
４ａ＋３ｂ'＋２ｃ'＋ｄ'＝１０　，　ａ,ｂ',ｃ',ｄ'≧０
と置き換えて、ａ,ｂ',ｃ',ｄ'の組み合わせを考えればよい。（しかしながら、だからどうしたって感じで、やはり単純には解けなかった。）
ａ,ｂ',ｃ'を決めるとｄ'は一意的に決まるので、
４ａ＋３ｂ'＋２ｃ'≦１０
となる組み合わせを求めればよい（これも実質的な絞り込みになってないのだが）。
ａ＝０，３ｂ'＋２ｃ'≦１０　・・・　１４通り
ａ＝１，３ｂ'＋２ｃ'≦６　　・・・　７通り
ａ＝２，３ｂ'＋２ｃ'≦２　　・・・　２通り
合わせて１４＋７＋２＝２３通り

以上、もう少し何か考え方があるかなーと思ったのですが・・・。
他に良い考え方があったら教えて欲しいです。

回答No.6

kumipapa

回答したいのだけど時間がない。
申し訳ありませんが、締めるのちょっと待ってください。今日中には何とか。

回答No.5

black2005

No.2です。
問題は理解しました。
これは典型的な重複組合わせです。
「重複組合わせ」で検索すれば、沢山ヒットするはずです。
区別のできない箱（空き箱可）というのが問題を解くポイントです。

回答No.4

someday555

数学的？というのがよくわかりませんが、
とにかく式を使って計算で求める、ということですね。

この問題はある種有名なグループ分け問題と似ています。

検索してみてはいかがでしょうか？

補足

検索のヒントを教えていただけないでしょうか？？

回答No.3

chiezo2005

これは難しい。
でもすべての通りを書き出すと言うのもそんなに時間は掛からない。
多い順に入れると考えれば，
10,0,0,0
9,1,0,0
8,2,0,0
8,1,1,0
7,3,0,0
7,2,1,0
7,1,1,1
6,4,0,0
6,3,1,0
6,2,2,0
6,2,1,1
5,5,0,0
5,4,1,0
5,3,2,0
5,3,1,1
5,2,2,1
4,4,2,0
4,4,1,1
4,3,3,0
4,3,2,1
4,2,2,2
3,3,3,1
3,3,2,2
ですよね。
でもたしかにあんまりね・・・

回答No.2

black2005

数学の問題として不完全なので答えられない
・赤玉は区別できるのか？
・空箱はあって良いのか？

×確立
○確率

補足

すみません・・・！

空箱があってもいいです！

赤球は区別できません！！

回答No.1

koko_u_

赤玉の方は区別できるのですか？