反ユニタリ演算子について質問です。

質問

Uをヒルベルト空間上の反ユニタリ演算子とする。
すなわち
(UΦ, Uψ)=(Φ, ψ)*,
U(ξΦ+ηψ)=ξ*UΦ+η*Uψ
であるとする。また、反線形演算子Aの共役は、
(Φ,A^†ψ)≡(AΦ, ψ)*
と定義する。
このとき
U^†=U^(-1)
となることを示せ。

回答No.7

tmppassenger · ベストアンサー

ちなみに確認ですが、

> Φとψを任意にとる。
> ＜Φ, U^†Uψ＞=＜Φ, ψ＞
から
> U^†U=I
の証明は出来ますか？

お礼

はい、出来ます。

回答No.6

tmppassenger

OKです。もう少しなので、頑張ってほしい

まず、＜Uψ, Uψ＞については、最初の規則
> (UΦ, Uψ)=(Φ, ψ)*
から、まだ行けますね。

そして、＜Uψ, UU^†Uψ＞ も、最初の規則
> (UΦ, Uψ)=(Φ, ψ)*
を使った後、更に
> (Φ,A^†ψ)≡(AΦ, ψ)*
を使えば、まだ変形出来るはず。

頑張ってください。もう少しです。

お礼

別解を思いつきました。Φとψを任意にとる。
＜Φ, U^†Uψ＞=＜UΦ, Uψ＞*=＜Φ, ψ＞**=＜Φ, ψ＞
より、U^†U=I.
また群論の初歩より、U^†U=I　ならばUU^†=I.
∴U^†=U^(-1)
これでよいのではないでしょうか？

回答No.5

tmppassenger

一旦どこまで計算が進んでいるか書いてもらえますか？

回答No.4

tmppassenger

> すみません、<U ψ, UU^†Φ>になる理由がわからないので
＜Φ, UU^†Φ＞ の左側のΦをU ψに置き換えただけですよ。

> +＜ψ, ψ＞をこれ以上どうすれば
（ああ、実は敢えて黙っておいたんですが...）「任意のHの要素γに対し、<γ, γ> ≧ 0」、つまり「任意のHの要素γに対し、<γ, γ> は『実数』」ということですね。

お礼

全体をΦで表わすか、ψで表わすかしなければならないと思うのですが、そのどちらを計算しても0になることが導けません。もうどうしようもないです。最後の詰めを教えていただけないでしょうか。

回答No.3

tmppassenger

あ、後、最後の -＜U^(-1)Φ, U^(-1)Φ＞ は、符号が反対でないかな？

お礼

＜U^†Φ-U^(-1)Φ, U^†Φ-U^(-1)Φ＞
=＜Φ, UU^†Φ＞-＜Φ, Φ＞-＜Φ, Φ＞+＜U^(-1)Φ, U^(-1)Φ＞
=＜Uψ, UU^†Uψ＞-＜Uψ, Uψ＞- ＜Uψ, Uψ＞+＜ψ, ψ＞
までです。

回答No.2

tmppassenger

いいところまで行ってます。もうひと踏ん張りです。

◯ 最初の ＜Φ, UU^†Φ＞ については、左側について、U^(-1)Φ = ψ ⇒ U U^(-1) Φ = U ψ ⇒ Φ = U ψ を代入すると、<U ψ, UU^†Φ>なのでもう少し頑張れる。

◯ 一方 ＜U^(-1)Φ, U^(-1)Φ＞ については ＜U^(-1)Φ, U^(-1)Φ＞ = <ψ, ψ>で、こちらはこれ以上どうしようもない.... ですが、所で <Φ, Φ> = <Uψ, Uψ> で、これについてはもう一段階変形出来ますね。

お礼

すみません、<U ψ, UU^†Φ>になる理由がわからないので、教えていただけないでしょうか？
それと、+＜ψ, ψ＞をこれ以上どうすればよいのかさっぱりわからないのです。こちらについても解説していただけないでしょうか？

回答No.1

tmppassenger

一般にヒルベルト空間 Hの内積は正定値性を持つ。つまり、任意のHの要素Φに対し、<Φ, Φ> ≧ 0 かつ <ψ, ψ> = 0ならば ψ = 0。

従って、f, g をH上の写像として、任意のHの要素Φに対し、<fΦ - gΦ, fΦ - gΦ> = 0が言えるならば、これは任意の任意のHの要素Φに対し、fΦ = gΦとなる、という事であるから、 f = g が言える。

従って、任意の Hの要素Φに対し、<U^†Φ - U^(-1)Φ, U^†Φ - U^(-1)Φ > = 0が言えればよい、という事になる。

後は一旦ご自身で頑張ってください。内積の線形性やら、問題に書いてある定義やらを使って、展開して計算しまくれば、やがて出る。U^(-1)Φ = ψ とおいた方が計算がしやすい。

お礼

私の計算です。挫折しました。
＜U^†Φ-U^(-1)Φ, U^†Φ-U^(-1)Φ＞において、U^(-1)Φ=ψとおくと、
＜U^†Φ-U^(-1)Φ, U^†Φ-U^(-1)Φ＞=＜U^†Φ-ψ, U^†Φ-ψ＞
=＜U^†Φ, U^†Φ＞-＜U^†Φ, ψ＞-＜ψ, U^†Φ＞-＜ψ, ψ＞
=＜UU^†Φ, Φ＞*-＜Φ, U^†Φ＞*-＜Uψ, Φ＞*-＜ψ, ψ＞
=＜Φ, UU^†Φ＞-＜Uψ, Φ＞-＜Φ, Uψ＞-＜ψ, ψ＞
=＜Φ, UU^†Φ＞-＜UU^(-1)Φ, Φ＞-＜Φ, UU^(-1)Φ＞
-＜U^(-1)Φ, U^(-1)Φ＞
=＜Φ, UU^†Φ＞-＜Φ, Φ＞-＜Φ, Φ＞-＜U^(-1)Φ, U^(-1)Φ＞

ということになりました。これが0になることを示すにはどうすればよいでしょうか？