相似変換とユニタリ変換

質問

今までユニタリ演算子に依る相似変換をユニタリ変換と思っていたのですが、違いますか？

私の理解ではAの相似変換は
P^(-1)AP
でPがユニタリのときAのユニタリ変換は
(P^†)AP
だと思っていました。

ところがある本で、Pをユニタリ演算子として相似変換を
(P^†)AP、
ユニタリ変換を
PAP^(-1)
としていました。(P^†)APは私の理解でもユニタリ演算子による相似変換なので分からなくはないのですがユニタリ変換はどうしても理解できません。
もし私が間違っているなら正しい定義を教えて下さい。よろしくおねがいします。

回答No.16

alice_44 · ベストアンサー

何だか長くなっているが、A No.9 の前半部分で
解決している話ではないかと思う。

行列 L, R が互いに逆行列の関係にあるとき、
n 次行列 A を LAR に移す n×n 次の線型写像を
行列の「相似変換」と呼ぶ。それは明確として、
「P による相似変換」といえば L=P を指すのか、
R=P を指すのか、それ以前に
「P による相似変換」という言い方があるのか？

これは、きちんと標準化された言い方ではなく、
そのため、PA(Pの逆) が正解な訳でも
(Pの逆)AP が正解な訳でもないが、
どちらかといえば (Pの逆)AP 派の人が多い
…というのが実際のところではないかと思う。

これに対して、「P によるユニタリ変換」は
少し状況が違っている。
「相似変換」が、それ自体、行列に対する変換
の名前なの比べ、「P によるユニタリ変換」は、
行列 A にユニタリ変換を施すというよりも、
座標系をユニタリ変換する際に、A の成分表示が
受ける変換を指しているように感じられる。

その意味で、繰り返し補足質問されている
「P によるユニタリ変換とはユニタリ行列 P による
相似変換という意味か？」は、微妙に No っぽい。
結果的に同じことになる訳で、No とも言い難いが、
そういう語源の言い回しではないのだろうと
思えてならない。(どうにも主観的だが)

その上で、「P によるユニタリ変換」が
PA(Pの逆) を指すのか、(Pの逆)AP を指すのか
といえば、「座標のユニタリ変換 P」が
x→Px を指すのか、x→(Pの逆)x を指すのか
に依ることになる。
座標変換の結果、ベクトルの成分表示が受ける
線型変換の表現行列が P と読めば x→Px だし、
基底を P で変換すると読めば x→(Pの逆)x だ。
(列ベクトルが「反変ベクトル」と呼ばれる所以
でもある。)

…というようなことが、既に A No.9 に出ている。
要するに、言い回しの曖昧さによる問題なので、
文脈に沿って確認する必要があるのだろう。

回答No.15

eclipse2maven

>それはeclipse2mavenさんがPにU^(-1)を代入しているつもりだという意味ですよね？
私も代入している感覚なのですが、最初にUで考えてUにP^(-1)を代入しても出発点と着地点が逆なだけですよね？

うーーん、数学屋は、PやUがどこに属するか　つまりどこの集合の元か常に意識します。PはGL(H)でUはU(H)　U(H)⊂GL(H)　だから　UにPを代入するのは。。。

>Uによる変換とPによる変換の関係は正しいですか？

正しいです。

＞それとA'=UAU^(-1)も相似変換であることは分かった上です。
とくに取り決めとか慣習が無いなら意味のない質問ですが、
通常、Aのユニタリ変換というときはUAU^(-1)とU^(-1)AUのどちらを指すのか？ということです。
相似変換についても同様に通常、どちらを指すのかが疑問です。

わたしは、どっちでもいいと思います。たんなる好みの問題、ただ、一度決めたら、それを守る必要はありますが。　　もちろん　右作用　左作用　って部分が出てきます。　群の表現とかは　たいてい左作用が多いですから　それだと　PAP^{-1}　のほうが便利ですが、　基底の変換から出発したら
P~{-1}AP に　なるわけです。

回答No.14

eclipse2maven

前半は、なんか式の感覚がおかしいような

Pは　変数のように使っていて、とくに　P=U^{-1}と　代入した感覚で使っています。

だから　またPを持ち出すのはなんか変。

だからA'=UAU^(-1)　も相似変換なんですが。　Pに　U^{-1} を代入しただけ

補足

それはeclipse2mavenさんがPにU^(-1)を代入しているつもりだという意味ですよね？
私も代入している感覚なのですが、最初にUで考えてUにP^(-1)を代入しても出発点と着地点が逆なだけですよね？
Uによる変換とPによる変換の関係は正しいですか？

それとA'=UAU^(-1)も相似変換であることは分かった上です。
とくに取り決めとか慣習が無いなら意味のない質問ですが、
通常、Aのユニタリ変換というときはUAU^(-1)とU^(-1)AUのどちらを指すのか？ということです。
相似変換についても同様に通常、どちらを指すのかが疑問です。

回答No.13

eclipse2maven

「式の解釈の違い」　を　定義してください。　意味不明です。

補足

Uが点を移したと解釈するかPが基底を変換したと解釈するかの違いという意味です。

前の補足の前半は問題ないですか？

回答No.12

eclipse2maven

>「Uが点を移すならx'=Ux、e'=U^(-1)e、A'=UAU^(-1)

のときが　ユニタリ変換

＞これが正しいとして、このように相似変換とユニタリ変換の違いが式の解釈の違いとするのは一般的ですか？

上が正しくなかったので、この質問は意味をなさない

>ユニタリ変換の変換行列はユニタリでなければならないが、相似変換は逆行列が存在すれば定義できるので、「
>そういう意味では」（ユニタリ変換）⊂（相似変換）であるというのは正しいですか？

正しい　ただ　あえて　U＾｛ー１｝　となっているのは、　ハイゼンベルグ表示やシュレディンガー表示と絡めたいからだとおもいます。

補足

前半部に関して
では「AのUによるユニタリ変換」はA'=UAU^(-1)を指すということですよね？
この式においてP=U^(-1)とおくと
A'=P^(-1)APとなって、これを「AのPによる相似変換」というということですか？

これは（ユニタリでなければならないかを除けば）式の解釈の違いと考えていいですか？

回答No.11

eclipse2maven

ではなくて、

変換という言葉を　基底　あるいは　座標を　移して、　A　が　どう移るか？　の場合に　使っているようです。

線形代数で言えば　基底の変換にともなう　線形写像の表現行列の変化　が　変換（相似変換）

ユニタリ変換は　P=U^{-1}　のとき　をいう

U自体は本来　点を移しているのですが　これを基底または座標を移すと思うには　P=U^{-1}と思えばよいと考えているわけです。　その際の相似変換のことを　ユニタリ変換と言っている

この本の定義です。

Aは力学変数で　点は状態関数で　シュレディンガーだったら、　固有ベクトルで状態関数を展開して見るでしょうけど

基底を　U^{-1}で取り替えて　A自体の変化を見ていくのが　Aのユニタリ変換であり、こっちがハイゼンベルグ表示

数学でいう変換は　ある集合の全単射な写像全般を指します。数学で言うユニタリ変換は　ヒルベルト空間H自身の全単射な線形写像で内積を変えない写像のことを言います。非常に一般的です。

それと　いまは　ヒルベルト空間H　の　自分自身への有界線形写像　B(H)　のなかで　ユニタリなもの　U(H)　が　B(H)　に作用しているわけで、　これ自体も線形に作用しているけど、この作用自体がユニタリになってるわけでもない。B(H)自体は線形位相空間にできますが、位相を決めてない。その場合には　U(H)　から　B(B(H))となっているわけで　B(H)自体に内積が定義されているわけでないので、本来は　ユニタリ変換とは　言わないと思います。だから　H上のユニタリ作用素のなす作用素環の　B(B(H))）への準同型をひとつ決めただけで、ユニタリという表現は使わないですね。
随伴表現とかいうかな　ただその場合は　右表現か　左表現かで　UAU^{-1}　か　U^{-1}AU か決めますね。

補足

>ではなくて、
がどの部分に対してかわからないので１つずつ確認させて下さい。

「Uが点を移すならx'=Ux、e'=U^(-1)e、A'=UAU^(-1)となるが、P=U^(-1)と置くと
x'=P^(-1)x、e'=Pe、A'=P^(-1)APとなってPが基底を変換していると見ることができる。
前者をUによるAの相似変換、後者をPによるAのユニタリ変換と呼ぶ」というのは正しいですか？
一応これは補足で書いたの内容を言い換えただけですが、今回の回答の前半部との違いが分かりません。

これが正しいとして、このように相似変換とユニタリ変換の違いが式の解釈の違いとするのは一般的ですか？

ユニタリ変換の変換行列はユニタリでなければならないが、相似変換は逆行列が存在すれば定義できるので、「そういう意味では」（ユニタリ変換）⊂（相似変換）であるというのは正しいですか？

以上３点です。よろしいくお願いします。

回答No.10

eclipse2maven

No9 の　最後の2行は　消し忘れました。　だから　内容に関係ないです。

回答No.9

eclipse2maven

#6の補足の補足 を少し修正します。

この本ではPは基底をe'=Peと変換するユニタリ行列として出てきています。
ですからベクトルは
x'=(P^†)x、
演算子は
A'=(P^†)AP
と変換します。この演算子の変換を相似変換と書いてあります。

（ここまではいいです。）

こちらは　座標軸（基底）を動かすことで、結果的に動いているように見えるわけで、その変化が
Aが　(P^†)APに変化した。（点は　ｘ－－＞　P^{-1}ｘ　と変わる

じゃあ　実際　点をU　だけ移すことは　座標を　e'=U^{-1}e と変換することと同じですよね。
このUがユニタリのとき、Aがどう変化したかを　座標が変わったとして動きを見るならば　P=U^{-1}
のときにあたりますよね、実際　A'=UAU^{-1} になります。これをユニタリ変換といってるわけです。

点ｘが動くことと　座標が動くことは　裏表ですよね。　それでUはもともと点の動きですが、それを
座標の動き（P=U^{-1} ) として、Aの相似変換を見たのが　ユニタリ変換です。

ところで、話は変わりますが、今の本は量子力学の本だよね？　前の物理学におけるりー代数は、アイソスピンから統一理論だから、　ゲージ理論だから当然場の量子論だから　第二量子化した世界だよね？　そこで　スピノール表現とか古典リー環の比較的単純なやつの最高ウェイト表現とかそのテンソル表現とかの具体的実現の話でしょう？　なんかレベル違いすぎない？

ユニタリ変換に関しては、このPを用いてAのユニタリ変換UAU^(-1)を作ることができて、AとPAP^(-1)はユニタリ的に同値であると書いています。

補足

>座標の動き（P=U^{-1} ) として、Aの相似変換を見たのが　ユニタリ変換です。

この前までは全て理解できているようです。先の質問はYES/NOでは答えにくいものなのでしょうか？
例えば相似変換はユニタリ行列でなくても逆行列があれば定義できますよね？ユニタリ変換はユニタリ行列でないとできないと理解しているのですが、そういう意味では（ユニタリ変換）⊂（相似変換）で合ってますよね？

そして今回の回答を解釈すると
（P=U^(-1)をユニタリに限定して)
「P^(-1)APはPによるAの相似変換」
「UAU^(-1)はUによるAのユニタリ変換」
と言えると思うのですが合ってますか？これが正しいとすれば
ユニタリに限定すれば相似変換とユニタリ変換の違いは基底の変換と見るか座標の変換と見るかということですよね。
この言い方は一般的なものでしょうか？
私は単純に
「相似変換に使っている行列がユニタリの場合に特にユニタリ変換という。つまり、
「UによるAのユニタリ変換」はU^(-1)AUを指すと思っていましたから。

>なんかレベル違いすぎない？
そうですね。量子力学も線形代数も既に終えていてちょっと調べ物をしているときに疑問に思ったので質問させて頂きました。

回答No.8

eclipse2maven

すでに　No5,６　ですべて答えてます。

それと、前回（物理の群の質問）もそうですが、もう少し質問の聞き方、態度を考えられた方がいいかと。

早い話、線形代数が理解できてないだけのはなしです。

補足

申し訳ありません。私のコメントに対して不快に思われたのならお詫びいたします。

理解が不十分なのは自分でも分かっています。それで、#5，6で回答を頂けていたにもかかわらず私には理解できずに質問を繰り返してしまって更に不快にさせてしまったようです。本当に申し訳ありません。ただ、私には私が疑問に思っている問題とはズレているように思ったので再び質問させて頂きました。

理解が不十分な私にも理解できるように下の補足の質問にYESかNOで答えていただけないでしょうか？
もしこのコメントも不快に思われたのでしたら無視していただいて構いません。今までの非礼を心からお詫びいたします。

回答No.7

eclipse2maven

N０６の訂正

P=e^{-tiH/h}　　じゃ　なくて　　P=e^{tiH/h}　　　ですね

補足

#6の補足の補足
この本ではPは基底をe'=Peと変換するユニタリ行列として出てきています。
ですからベクトルは
x'=(P^†)x、
演算子は
A'=(P^†)AP
と変換します。この演算子の変換を相似変換と書いてあります。

ユニタリ変換に関しては、このPを用いてAのユニタリ変換UAU^(-1)を作ることができて、AとPAP^(-1)はユニタリ的に同値であると書いています。

回答No.6

eclipse2maven

No5 の　つづき

ハイゼンベルグ表示　シュレディンガー表示　相互表示　の話のようですね。
http://hooktail.sub.jp/quantum/SHRep/

式(2) (4) の関係ですね

この場合　P=e^{-tiH/h} ですね H は　ハミルトニアンで、エルミート作要素だから　i 倍したら　交代エルミート　リー環だから　指数関数に乗っければ　ユニタリーですね　

だから　P^{-1} という　ユニタリ作要素　の　相似変換(P^{-1})^{-1}AP^{-1}　が　ハイゼンベルグ表示（４）にあたるわけですね、これをユニタリ変換といっている感じですね。

その意味では　　相似変換は　B^{-1}AB で　　B=P^{-1} (P ：　Unitary)　が　ユニタリ変換　ですね

ただし、これは、あくまでこの本の流儀で、　数学で　相似変換　ユニタリ変換を　関数解析では　あまり使わないと思います。

補足

>ハイゼンベルグ表示　シュレディンガー表示　相互表示　の話のようですね。
いえ、もっと基礎的な内容です。まだ先を読んでないのでわからないのですが、この相似変換とユニタリ変換がどう関連してくるのかわかりませんが今のところは一応は別の話題として出てきています。
いま私が疑問に思っていることはもっとシンプルで
#1の補足「ユニタリ変換は相似変換の一種で相似変換をP^(-1)APと書くときPがユニタリの場合を言う」
#4の補足「「AのPによる相似変換」をP^(-1)APと書くかPAP^(-1)と書くかは流儀による」
が正しいかどうかです。この２点をお答えいただけないでしょうか。