次の表現行列は(実)ユニタリである事を示せ
VをR上の有限次元内積空間とする.
[問] Rを実数体とする。VをR上の有限次元内積空間とする。
B:={v_1,v_2,…,v_n}とB':={w_1,w_2,…,w_n}を夫々,Vの正規直交基底とする。
f:V→Vを線形写像とする時,
基底BとB'に関するfの表現行列をM_B_B'(f)で表す。
(1) id:V→Vを恒等写像とすると,M_B_B'(id)は実ユニタリ(直交行列(?))であることを示せ。
[ヒント:<w_i,w_i>=1,i≠jなら<w_i,w_j>=0.また表現w_i=Σa_ijv_j (a_ij∈R)]
(2) f:V→Vをf(v_i)=w_i (i=1,2,…,n)とすると,M_B_B'(f)はユニタリであることを示せ。
と言う問題です。
これらはどのようにして求めればいいのでしょうか?
(1)については
表現行列の定義から
x=Σa_iv_i (a_1,a_2,…,a_n∈R)とするとM_B_B'(id)(x)=M_B_B'(x) (∵恒等写像の定義)
=Σ[i=1..n]c_iw_i (但し,c_1,c_2,…,c_n∈R)
と書け、
ユニタリの定義から内積が保存される事,つまり
<M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<x,y>を示せばいいのだと思います。
y=Σb_iv_i (b_1,b_2,…,b_n∈R)として,
M_B_B'(id)(y)=Σ[i=1..n]d_iw_i (但し, d_1,d_2,…,d_n∈R)
とすると
<M_B_B'(id)(x),M_B_B'(id)(y)>=<Σ[i=1..n]c_iw_i,Σ[i=1..n]d_iw_i>
=Σ[i=1..n]<c_iw_i,d_iw_i> (∵直交の定義)
=Σ[i=1..n]c_id_i (∵正規の定義)
となり,<x,y>から遠ざかっております。
どのようにして証明すればいいのでしょうか?
(2)についてはユニタリの定義はノルムを保存する事
<M_B_B'(f)(x),M_B_B'(f)(x)>=<x,x>
を示す事だと思います。
M_B_B'(f)(x)=M_B_B'(f)(Σa_iv_i)=M_B_B'(f(Σa_iv_i)=Σ[i=1..n]a'_iw_i
M_B_B'(f)(y)=M_B_B'(f)(Σb_iv_i)=M_B_B'(f(Σb_iv_i)=Σ[i=1..n]b'_iw_i
となり,=<x,x>にたどり着けません。どうすればいいのでしょうか?
お礼
どうもありがとうございました！