ディリクレ関数について質問があります

質問

xが有理数の時に１を、
xが無理数のときに0をとるような関数f(x)をディリクレ関数というですが、
この関数は

f(x)=lim[m→∞]lim[n→∞](cos2πm!x)^n

と書くことが出来るそうです。
その理由が本を読んでも良く分かりません。

本には
xが有理数ならば、十分大きい自然数mに対してcos2πm!x=1を満たし
xが無理数ならば、任意の自然数mに対して|cos2πm!x|<1となるから。

と書かれていたのですが、よく分かりませんでした。

大学の数学科でεーδ論法を１年間勉強して、ルベーグに手を出し始めたところなのですが、
この関数に苦戦しています。

解説お願いいたします。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

難しく考えすぎ。

落ち着いてよくみれば高校生でもわかる単純なはなし。
εーδとかルベーグとか難しいことは一旦忘れてみよう。

ｘが有理数
→ｘ＝ａ／ｂ（（ａ，ｂは整数）ｍがｂより大きくなると　ｍ！ｘは"いつも整数"になる。
→cos(・・・)が１になる。

ｘが無理数
→どのようなｍ対しても、ｍ！ｘが整数にならない（なったらビックリ）
→cos(・・・)が１にも－１にもならない（絶対値が１未満になる）
→(n→∞)のときcos(・・・)＾ｎが0になる。

お礼

ああ！なるほど！とても分かり易いです…ご丁寧にありがとうございました！

本当に助かりました！！

回答No.1

Tacosan

どこが「よくわからない」んでしょうか?

お礼

分かりました！ありがとうございました！！！！！！

補足

xが有理数のとき、十分大きなmにたいして、なぜlim[n→∞]f(x)=1になるのでしょうか？

x=a/b(a,bは互いに素)と置いて考えても、上の理由が見つかりませんでした。