微分について。

質問

すみません。第 2次導関数で、d/dx(dy/dx)と表せる事はわかるのですが、分母がd∧ x∧ 2にならないのかが分かりません。 ご教授いただけないでしょうか？

回答No.7

ddtddtddt

#6です。y＝x^2の微分で、実際にやってみました。

　なれると、やっぱり最後を選んじゃうんですよ。学校の答案なんかに書いてはだめですよ(^^;)。

補足

で、 2回微分の場合もお願いします。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.6

ddtddtddt

#5です。

＞本当はイコールじゃないです。省略記法ですというのは、どういう事でしょうか？

　厳密には、

　　dy＝lim(Δx→0) (f(x＋Δx)－f(x))＝0　　　(1)

です。またはこれに対応した、

　　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)　　　　　　　　　　(2)

という書き方もあります。(2)は厳密に正しいです。Δyを用いる計算をする場合、最後には(1)の極限移行を行います。だったら最初から(1)を使えば良いじゃないかとも思えますが、長ったらしい計算式の中でいつもいつも、lim(Δx→0)を書くのはわずらわしいわけです。

　また(1)では、連続関数では常にdy＝0ですから意味がわかりずらいです。関数fの差分Δyをxの差分Δxで割ったΔy/Δxで、Δx→0の極限を取った時に、微分係数という意味が生じます。
　そうするとdyには、fの差分という意味の雰囲気を残しつつも、最後には極限移行するぞという最終処理への注意喚起も促したい。で、またまた妥協案として、

　　dy＝f(x＋Δx)－f(x)　　　(3)

という書き方が生まれたわけです。正確には同じじゃないよ、という但し書き付きで。
（わかってるよね？と、但し書きが省略される事も、ままありますが(^^;)）
　ただし(3)は正式な書き方ではないので、論文などではめったに使われません。それで、

　　dy～f(x＋Δx)－f(x)　　　(4)

という書き方もあるのですが（～は、概ね等しいと読みます）、計算式を具体的に書いてみると、＝を用いようが～を用いようが、常に～を＝に取り換えてもたいてい結論は同じなので、＝で通す人はけっこういるみたいです。もちろん但し書きを忘れてはなりません。

　このように但し書きさえ付けておけば（忘れなければ）、数学もけっこう自由なんです。学校では許されないとは思いますが、昔の（今の）研究者の研究ノートには、こんなのはあふれかえってますよ(^^;)。

補足

最後には極限移行するぞという最終処理への注意喚起も促したい。で、またまた妥協案として、

　　dy＝f(x＋Δx)－f(x)　　　(3)
ここをもう少し詳しくご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.5

ddtddtddt

こういう時は、定義に戻るのが一番です。1階微分の定義はご存じですよね？（添付図-(1)，(2)）。1階微分の定義式(2)で、dy → f(x＋Δx)－f(x)，dx → Δx という対応になってるのはわかると思います。dy＝f(x＋Δx)－f(x)と略記する事があり、dyはfの1階差分と言われます（本当はイコールじゃないです。省略記法です(^^;)）。この1階微分の定義を、2階微分にも正直に適用すると、添付図-(3)です。これが2階微分の定義式です。
　2階微分の定義式の右辺最後の形を見ると、確かにdx^2にはΔx^2が対応します。しかし分子の形をみると、dy^2じゃないですよね？。dy1＝f(x＋Δx)－f(x)，dy2＝f(x＋2Δx)－f(x＋Δx)と表す事にすると、分子はdy1* dy2ではなく、dy2－dy1の形です。そうすると、

　　(dy2－dy1)/dx^2

で2階微分を表してもよかったんですけれど、dyについてる2や1は下付き添え字と思って下さい。そういう添え字はわずらわしいので、できるだけ省略したいわけです。じゃあ、(dy－dy)/dxだったら・・・、

　　(dy－dy)/dx^2＝0/dx^2＝0・・・？

・・・意味不明じゃん！となります。それにこの方式だと3階微分の場合、

　　((dy3－dy2)－(dy2－dy1))/dx^3

って書くのかい！ってな話にもなります(^^;)。dy2－dy1は差分の差分です。それでこれを2階差分と呼びます。その記号としてdy^2は明らかにおかしいので妥協案として、d^2yと書く事にしました。すると、dはdifferentialの頭文字で語源をたどれば「差」です（微分の意味にも使われますが）。そういうわけでd^2は関数yの差分の差分、差を2回とった2階差分だぁ～！という事になります。ぴったりじゃないの！というわけです(^^)。

　よって、
　　https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13241395743
の最後にあるあなたの解釈は、概ね正しいですよ(^^)。

補足

本当はイコールじゃないです。省略記法ですというのは、どういう事でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.4

musume12

めんどくさいので多くは説明しない。微分演算子で検索するとよい。
たとえば
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/bibunhouteisiki/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/bibunhouteisiki/bibun_enzansi.html

微分演算子は微分方程式の解法で威力を発揮する。

補足

つまり、このような解釈でも良いのでしょうか？
dは、微分の頭文字でd∧2yで、yを2回微分します。で、dx∧2についてxを2回微分する。みたいな感じでしょうか？すみません。意味不明で。ご教授いただけないでしょうか？

回答No.3

asuncion

＞約束事という事でしょうか？

そう。
他の回答者さんが詳細に回答してるのに、それに対して
「もっと詳しく」ってwww

お礼

musume12さんの画像の最後のところです。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

補足

最後の、d∧ 2y／dx∧ 2の所が分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.2

musume12

図のように書くのが慣例というもの。

補足

もう少し詳しくご教授いただけないでしょうか？最後の、d∧ 2y／dx∧ 2の所が分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみません。それと、以下のURLの回答に賛成ですか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13241395743

回答No.1

asuncion

今のように表記するように
決めた、てことなので、
意味を考える必要はありません。

補足

とすると、約束事という事でしょうか？以下のURLの回答に賛成ですか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13241395743