微分積分は次元と本質的な関係がありますか

質問

表題の通りなのですが、わかりやすく教えていただけないでしょうか。

回答No.4

QCD2001 · ベストアンサー

ｘｙ平面上に何かの図形があり、これをｚ軸方向へ積分するとします。
ｚ軸で積分をするためには、積分を行う前にｚ軸が定義されて3次元になっている必要があります。

ｚ軸を考えたわけですから、ｘｙｚの3次元空間を考え、その中のｚ＝０という条件が加わった図形を積分しようとしているわけですから、3次元の図形を積分して、3次元の図形になったわけです。

お礼

次元自身には何の変りもないわけですね。

回答No.3

QCD2001

回答の一部を訂正します。
2個の値の組み合わせの時にｎ次元
と書きましたが、これは間違いで
ｎ個の値の組み合わせのときがｎ次元です。

お礼

微積分が面積と体積の関係になることはどうなのでしょうか。

回答No.2

QCD2001

「次元」の定義ですが、

ある集合で、その任意の要素を2個の値の組み合わせによって一意的に
表せるような集合をｎ次元の集合と呼びます。

ｘｙ平面は、平面上の任意の点を座標（ｘ、ｙ）という2つの値の組み合わせによって表すことができ、たとえば（１、０）という座標で表せる点は1つしかありませんから、一意的に表せるわけです。ですから、ｘｙ平面は2次元の集合であると言えます。

先日、神保町の三省堂へ本を買いに行きました。三省堂ビルは大きなビルで、たくさんの本がありますが、目的の本があるかどうかわかりませんし、その本がどこにあるのかもわかりません。そこで、あちこちに置いてある検索機械で検索をしてみます。
目的の本があることがわかりました。

3階の、Ａの列の端から2番目の本棚の上から5番目の段に置いてあるようです。
そこへ行ってみると、確かに買おうと思っていた本がありました。

さて、三省堂の検索システムにおける書籍の位置情報は

何階か
どの本棚の列か
何番目の本棚か
上から何段目の棚か

という４つの値で指定をしています。
これは、三省堂ビル内のどの棚もこの４つの値の組み合わせで表すことができ、しかも１階のＢ列の３番目の本棚の４段目の棚は１つしかないので、一意的に表すことができます。ですから、三省堂の書籍の位置情報は４次元の集合であるとみなすことができます。

このように、ｎこの値で要素を指定できるようなものがｎ次元です。

さて、ｘｙ平面は２次元の集合ですが、ｘｙ平面に
ｙ＝ｘ＾２
という曲線を描いてみます。
この曲線は、ｘｙ平面上に描かれており、ｘｙ平面は２次元の集合です。従ってこの曲線状の点の集合は、２次元の集合であるｘｙ平面の部分集合です。従ってこの曲線は当然２次元の集合でもあります。
これを微分して得られた
ｙ＝２ｘ
という曲（直）線をｘｙ平面上に描くと、この曲線もｘｙ平面の部分集合であるので当然に２次元の集合となります。

このように、その要素を表すのにいくつの値の組み合わせが必要になるか、で次元数が決まります。
微分をしようが積分をしようが、2次元のｘｙ平面上で議論をしている限り、2次元は2次元です。

厳密な議論をするとややこしくなるので、このくらいにしておきます。

お礼

ご教示を理解できるように繰り返し読ませていただきます。同じ座標の中では次元が変わるということがないと理解しました。

回答No.1

QCD2001

全く関係ありません。
「次元」という概念が理解できていたらこのような質問が出てくるはずがないので、まず「次元」を理解しましょう。

お礼

仰る通りです。次元というのがわからないのです。x＾2を微分すると２ｘになることを次元が違うのかと思っていました。この辺をご教示いただけませんか。