微分と積分について

質問

C：y=(4x+1)/√(1-x2) (0≦x<1)について
(1)原点を通り,Cに接する直線Lの方程式を求めよ。
(2)Cとy軸および直線Lによって囲まれる部分の面積を求めよ。
について教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞C：y=(4x+1)/√(1-x2) (0≦x<1)について
＞(1)原点を通り,Cに接する直線Lの方程式を求めよ。
接点をＰ（ｐ，ｑ）とする。
ｙ'＝｛４√（1-x^2）－（4x+1）(1/2)（1-x^2）^(-1/2)・（-2x）｝／（1-x^2）^(3/2)
＝（ｘ＋４）／（１－ｘ^2）^(3/2)より、（１－ｘ^2＞０）
直線Ｌの傾きは（ｐ＋４）／（１－ｐ^2）^（3/2)　これが原点を通るから、
直線Ｌ：ｙ＝｛（ｐ＋４）／（１－ｐ^2）^（3/2)｝ｘ
Ｐは、Ｃと直線Ｌ上にあるから、
ｑ＝（４ｐ＋１）／（１－ｐ^2）^(1/2)
ｑ＝｛（ｐ＋４）／（１－ｐ^2）^（3/2)｝・ｐ
これらを連立で解くと、
（４ｐ＋１）（１－ｐ^2）＝ｐ（ｐ＋４）
４ｐ^3＋４ｐ^2－１＝０
（２ｐ－１）（２ｐ^2＋２ｐ＋１）＝０
２ｐ^2＋２ｐ＋１＝２（ｐ＋1/2）^2＋1/2＞０より、
２ｐ－１＝０，　ｐ＝１／２
直線Ｌの傾き＝（1/2＋４）／（１－(1/2)^2）^（3/2)＝４√３だから、
よって、直線Ｌの方程式は、ｙ＝４√３ｘ

＞(2)Cとy軸および直線Lによって囲まれる部分の面積を求めよ。
積分範囲は、０≦ｘ≦１／２
積分関数は、Ｃ－直線Ｌ＝（４ｘ＋１）／√（１－ｘ^2）－４√３ｘ
面積＝∫４ｘｄｘ／√（１－ｘ^2）＋∫ｄｘ／√（１－ｘ^2）－∫４√３ｘｄｘ
∫［０～1/2］４ｘｄｘ／√（１－ｘ^2）
１－ｘ^2＝ｔとおくと、－２ｘｄｘ＝ｄｔ　
＝∫［１～3/4］２（－ｄｔ）／ｔ^(1/2)
＝２∫［3/4～１］ｔ^(-1/2)ｄｔ
＝２［２ｔ^(1/2)］［3/4～１］
＝４（１－√３／２）
＝４－２√３
∫［０～1/2］ｄｘ／√（１－ｘ^2）
＝［sin^-1（ｘ）］［０～1/2］
＝sin^-1(1/2)－sin-^1（０）
＝（π／６）－０
＝π／６
∫［０～1/2］４√３ｘｄｘ
＝４√３［(1/2)ｘ^2］［０～1/2］
＝２√３（1/4－０）
＝√３／２
よって、
面積＝（４－２√３）＋π／６－（√３／２）
＝４－（５√３／２）＋π／６

でどうでしょうか？

補足

少し質問させてください。 (1)の「これらを連立すると」の前式の分母が次式に変わるときどのように変わったのか教えてください。

回答No.2

ferien

ANo.1です。補足について

＞ｑ＝（４ｐ＋１）／（１－ｐ^2）^(1/2)
＞ｑ＝｛（ｐ＋４）／（１－ｐ^2）^（3/2)｝・ｐ
＞これらを連立で解くと、
（４ｐ＋１）／（１－ｐ^2）^(1/2)＝｛（ｐ＋４）／（１－ｐ^2）^（3/2)｝・ｐ
（４ｐ＋１）／（１－ｐ^2）^(1/2)＝ｐ（ｐ＋４）／（１－ｐ^2）・（１－ｐ^2）^(1/2)
両辺に（１－ｐ^2）^(1/2)を掛けると
４ｐ＋１＝ｐ（ｐ＋４）／（１－ｐ^2）
両辺に（１－ｐ^2）を掛けると
＞（４ｐ＋１）（１－ｐ^2）＝ｐ（ｐ＋４）

になります。

お礼

詳しく教えていただき有り難うございます。