極座標というのは微積分とどのような関係があるのでしょうか

質問

表題どおりなのですが極座標では直交座標と違う特徴があるのでしょうか。特に閉じられた曲線が示す図形の面積などが計算しやすくなるというようなことがあるのでしょうか。

回答No.2

Willyt · ベストアンサー

微積分は一般に複数個の独立変数とこれを用いて表現される従属変数があれば普遍的に使えるものです。それは直交座標であろうが、極座標であろうが、円筒座標であろうが、同じ事です。
　極座標が用いられるのはそれを使うと表現が簡単な場合です。一般に閉じた曲線や面を現わすのに便利ですよね。例えば円の場合

　r=const　　でオシマイですよね。

円の面積は∫r・r/2dθ　を０から２πまで実行するとたちどころにπr~2 が出て来ますね。ところが直交座標でこれをやるとかなり大変なことになります。

極座標と直交座標は表現が違うだけでいつでも１：１に対応しているので変換可能です。

お礼

円の面積についての勉強から始めてみたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.4

htms42

平面の話で書きます。
直角座標は空間に固定された２つの方向が基準になっています。
極座標はある点からの距離とその方向を考えます。
回転運動では方向と距離が変わります。方向は絶えず変わりますが距離はいつもある範囲内でしか変わりません。曲座標が便利です。
万有引力の働く場の中での運動はケプラーの法則としてまとめられています。これを直角座標で求めるのは大変です。極座標で求めます。
運動方程式には加速度が出てきますから微分も含まれています。

ｒ方向の加速度Ａrとそれに垂直な方向の加速度Ａθとを書いてみます。
Ａr＝ｄ^2ｒ／ｄｔ^2－ｒ(ｄθ／ｄｔ)^2
Ａθ＝２(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒｄ^2θ／ｄｔ^2
運動方程式は
Ｆr＝ｍＡｒ
Ｆθ＝ｍＡθ
です。
ここで万有引力の場合を考えます。万有引力はｒの方向にだけ働く力（中心力）ですからＦθ＝０です。よってＡθ＝０になります。
Ａθ＝(１／ｒ)［２ｒ(ｄｒ／ｄｔ)(ｄθ／ｄｔ)＋ｒ^2ｄ^2θ／ｄｔ^2
］
＝(１／ｒ)ｄ(ｒ^2ｄθ／ｄｔ)／ｄｔ＝０
これより
ｒ^2ｄθ／ｄｔ＝一定
が出てきます。これはケプラーの法則の２番目、「面積速度一定の法則」です。この結果に関する限り、中心力ということしか使っていません。
楕円軌道であるということを求めるためにはｒ^2に反比例するという表現が必要になります。Ａθ＝０の結果とＦrの式とを組み合わせると楕円の極座標表示が得られます。

＋－の電荷の間に働くクーロンの力も距離の２乗に反比例する中心力ですから同じようにして解くことができます。水素原子の電子の記述が極座標で出来るのも納得できるものではないでしょうか。クーロン力の働いている場の中での巨視的な運動であれば万有引力と同じになりますが水素原子の場合は量子力学的な修正が必要になってきます。

お礼

ぼんやり想像していたことよりはるかに奥が深いもののようですね。勉強させていただきます。ごていねいにありがとうございます。

回答No.3

noname#74718

量子力学では、３次元の極座標を使うと水素原子のシュレディンガー方程式を厳密に解くことができます。これは、偏微分方程式が解きやすくなる例です。

お礼

量子力学でも使われるのですか。ご教示ありがとうございました。

回答No.1

noname#101199

高校生の方ですか？？
空間（平面）上の"距離"に着目する場合、極座標表示が割と便利です。

座標系について詳しいことは知らないので、参考程度に聞いてください。詳しい方が回答してくださったらそちらを信用してくださいｗｗ

一般の閉曲線についてはどちらの座標系が良いのかは、ものによるでしょう。でも、人間の手で解ける閉曲線については、極座標の方がときやすいことの方が多いかな…経験上。人間の手で解けない場合は、モンテカルロ法なんかの数値計算をコンピューターにやらせてときます。

具体的には、楕円や円なんかが絡んでくると、極座標を使えば簡単になることが非常に多いですね。物理でやるニュートンの運動方程式の極座標表示版 なんかが公式チックに大学の教科書に載ってるくらいです。
高校生にもわかりやすいのは、ガウシアンの積分なんかかなぁ。（参考URLに貼っときました。(3)式から(4)式は、dxdy=rdrdθとなることを使っています。ヤコビアンを計算することで、微小面積を関係付けてます。）（exp(x^2+y^2)の積分を、exp(r^2)の積分にできるので、expでは変数rのみの積分にできる。ちなみにexp(x)はe^xのことを表してます)

数Ｃでやる程度の極表示は、"考え方"くらいは抑えていた方が、大学入ったときに困らなくてすむます。大学の教授は、なんら解説なしに当たり前のように変数,座標を変換してきますから…ｗ

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/gaussIntegral/

お礼

ご丁寧にご説明いただき勉強の意欲が大変増しました。ありがとうございました。