数学的帰納法について。

質問

次の画像の私の解答を正しく書き直していただけないでしょうか？教えていただけないでしょうか？

回答No.2

kiha181-tubasa

結論を先に述べると「計算は出来ているが表現が不十分」ということでした。

既に成り立っている式なのか，これから証明しようとする式なのかの区別をしっかりと表現してください。解答は「小論文」です。
説明をきっちり書きましょう。

例えば
【１】n=1のとき
左辺=1
右辺=√3-1
1<√3<2であるから，0<√3-1<1
したがって　1>√3-1
ゆえにn=1の時には成り立つ。

【２】n=kの時
以降４行目までは，よく書けています。特に「1/(√2(k+1)-1)=1/√(2k+1)を両辺に加えると」ときちんと書いたのは大変良いことです。その下の行もOKです。

しかし，その次からはただの計算の羅列になってしまっています。
次のように書いてはいかがですか。

右辺=√(2k+1)-1+1/√(2k+1)=(2k+1)/√(2k+1)+1/√(2k+1)-1=(2k+2)/√(2k+1)-1
ここまでの計算はOKです。

次(６行目)の
(2k+2)/√(2k+1)-1>√(2k+3)-1
は，「今からこれを証明する」という意図で書いた不等式ですね。でもこれをただ書いただけなら，「この不等式が成り立っている」ということになっています。以降の式もこのまだ証明されていない不等式の変形の羅列ですね。テストなら「まだ証明されていない不等式を成り立っているように書いている」という理由で少なくとも大幅減点されるか，０点とされます。ですから，自分の意図をきちんと述べるのです。例えば

次に
(2k+2)/√(2k+1)-1>√(2k+3)-1
が成り立つことを証明する。
(2k+2)/√(2k+1)-1-(√(2k+3)-1)
=(2k+2)/√(2k+1)-√(2k+3)
=((2k+2)-√(2k+1)*√(2k+3))/√(2k+2)
=(√(4k^2+8k+4)-√(4k^2+8k+3))/√(2k+2)>0
∴(2k+2)/√(2k+1)-1>√(2k+3)-1

∴1/√1+1/√2+……+1/√(2(k+1)-1)>√(2(k+1)+1)-1
ゆえにn=k+１の場合も成り立つ。

以下は略します。

既に成り立っている式の変形なのか，これから「これを証明する」ということなのかをはっきりさせましょう。
証明問題は，答（成り立っている等式や不等式）がわかっているのですから，そこに至る経過を詳しく書くつもりで解答してください。

回答No.1

asuncion

まずはn = 1のとき
1 - (√3 - 1) > 0 = 2 -√3 > 0 = √4 - √3 > 0
という意味不明な記述を何とかしましょう。
最終的には
√4 - √3 > 0
が言いたいのはわかりますが、その前で不等号を使っていると、
訳がわかりません。