数学的帰納法

質問

1・4+2・5+3・6+……+n(n+3)=1/3n(n+1)(n+5)　…(1)

　n=1のとき　（左辺）=1・4=4 , （右辺）=1/3・1・2・6=4

　よってn=1のとき、(1)が成り立つ。っていうのは分かるのですが、

　その次にやることがさっぱり分かりません。

　出来るだけわかりやすく教えてください。お願いします。

回答No.3

tatsumi01 · ベストアンサー

暫く見てなくて No. 1 の回答に疑問が付いていることに気付きませんでした。

> 1・4+2・5+3・6+……+k(k+3)+(k+1)(k+4)=1/3・(k+1)(k+2)(k+6)　…(3)
> の式で右辺は n=k+1 を当てはめているのに
> なぜ左辺は…+k(k+3)+(k+1)(k+4)になってしまうのですか？？

左辺でも n=k+1 を当てはめているんです。（右辺でも左辺でも n=k+1 を「当てはめる」＝「代入する」ことをしないとイコールにはなりません。）
1・4+2・5+3・6+……+n(n+3)=1/3n(n+1)(n+5)　…(1)
ここで両辺に n=k を代入すると
1・4+2・5+3・6+……+k(k+3)=1/3k(k+1)(k+5)　…(1')

(1) の右辺に n=k+1 を代入することはお分かりになったようですね。
左辺を考えます。(1') は 1, 2, ..., k についての和です。ここに「n=k+1 を当てはめる＝n=k+1 を代入する」とは、1, 2, ..., k, k+1 についての和を取ることです。k までの和は (1') の左辺ですので、それに k+1 を追加すればよいのです。

したがって、
1・4+2・5+3・6+……+k(k+3)+(k+1)(k+4)
です。最後の項 (k+1)(k+4) が追加された項です。(1) の左辺の最後の項で n のところに k+1 を代入しています。

このような考え方は数学的帰納法では盛んに出てきますので、慣れて貰う以外にはありません。あるとき「ハッ」と気付くと、「なんだ、こんなことか。何を今まで悩んでいたんだろう」と思う日があるでしょう。

回答No.2

tatsumi01

「数学的帰納法」の考え方が分からない、ということがありますので（miyabiiiii さんは分かっているかも知れませんが）蛇足を付け加えておきます。
数学的帰納法では
(1) n=1 のとき成立する
(2) n=k のとき成立すると仮定すれば n=k+1 でも成立する
を証明し、全ての n で成立することを言います。

具体的に書いてみましょう。(1),(2) が証明できたとすると
(A) n=1 のとき成立する
(B) n=1 のとき成立するので n=2 でも成立する（(2) で k=1 と置いた）
したがって、n=2 で成立します。

次に
(A) n=1 のとき成立する
(B) n=1 のとき成立するので n=2 でも成立する（(2) で k=1 と置いた）
(C) n=2 のとき成立するので n=3 でも成立する（(2) で k=2 と置いた）
したがって、n=3 で成立します。

次に
(A) n=1 のとき成立する
(B) n=1 のとき成立するので n=2 でも成立する（(2) で k=1 と置いた）
(C) n=2 のとき成立するので n=3 でも成立する（(2) で k=2 と置いた）
(D) n=3 のとき成立するので n=4 でも成立する（(2) で k=3 と置いた）
したがって、n=4 で成立します。

面倒を厭わず、この操作を続ければ、有限の n に対して（どんな大きい n でも）いつかは証明できます。これが数学的帰納法の原理です。

回答No.1

tatsumi01

数学的帰納法では「n=k のとき成立する」を仮定し「n=k+1 のときに成立する」を証明します。ここで n を k に書き換えているのは、その方が分かりやすいからで、別に書き換えなくても構いません。
「n=k のとき成立する」を仮定しますから (1) は
1・4+2・5+3・6+……+k(k+3)=1/3・k(k+1)(k+5)　…(2)
が成立すると仮定します。この仮定の下で n=k+1 でも成立することを証明するので、証明すべき目標は
1・4+2・5+3・6+……+k(k+3)+(k+1)(k+4)=1/3・(k+1)(k+2)(k+6)　…(3)
になり、これを証明すれば良いわけです。(2) の両辺に (k+1)(k+4) を足すと
1・4+2・5+3・6+……+k(k+3)+(k+1)(k+4)=1/3・k(k+1)(k+5)+(k+1)(k+4)　…(2')
が成立する筈です。
(2') の右辺を変形して (3) の右辺になれば証明が完成です。

補足

1・4+2・5+3・6+……+k(k+3)+(k+1)(k+4)=1/3・(k+1)(k+2)(k+6)　…(3)

の式で右辺は n=k+1 を当てはめているのに

なぜ左辺は…+k(k+3)+(k+1)(k+4)になってしまうのですか？？

すいません。本当に分かりません。