数学的帰納法について。

質問

次の問題を教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

※まず、どんな順序で証明するのかは既知とします(数学的帰納法)。
Σ[j=1~n]1/√(2j - 1) > √(2n+1) - 1....(*)
を示すのですが、重要な点はもちろん、「n=k のとき(*)が成立するならば n=k+1にも成立する」ことを示す段階でしょう。
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Σ[j=1~k]1/√(2j - 1) > √(2k+1) - 1. であるとき、両辺に 1/√(2k+1) を加え、
Σ[j=1~(k+1)]1/√(2j - 1) > √(2k+1) - 1 + 1/√(2k+1)
ですから、(この右辺) > √(2k+3) - 1 を示せばよいことになります。
i.e., √(2k+1) - 1 + 1/√(2k+1) - {√(2k+3) - 1} > 0. ...これが「示すべきこと」です。
あとは単純計算です・・・通分して、
{√(2k+3) - √(2k+1)}/【√(2k+1)*{√(2k+1) + √(2k+3)}】> 0.

補足

すみません。なぜ、√（2k＋3)ー1になるのでしょうか？後、i.e.とはなんですか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.3

tmppassenger

先ず右辺に注目すると、 d/dx (√(2x + 1) = 1/√(2x+1)となることから、これを元に逆算して、 (√(2n+1)) - 1 = ∫ [0≦x≦n] dx/√(2x+1)である事が分かる（詳しくは『自分できちんと手を動かして検証せよ』）。

一方、1//√(2x+1) はx≧0で狭義単調減少するから、∫ [0≦x≦n] dx/√(2x+1) = Σ[1≦k≦n] ∫ [k-1≦x≦k] dx/√(2x+1) < Σ[1≦k≦n] ∫ [k-1≦x≦k] dx/√(2(k-1)+1) = Σ[1≦k≦n] (1/√(2k-1)) から問題の不等式が成り立つ。『詳しくは自分で検証せよ』。

回答No.2

gamma1854

「i.e.,」は「すなわち」ということです。
なお、すでに書きましたように、n=k のとき成立するならば、n=(k+1) のときにも成り立つことを言いたいということです。
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Σ[k=1~n] k = (n/2)(n+1) のような簡単な例について、「徹底的に理解するまで」時間をかけてください。中途半端ではいけません。