数学的帰納法

質問

次の等式を数学的帰納法で証明しなさい。

3+3・4+3・4の2乗+・・・・+3・4のn-1乗＝4のn乗-1

という問題が分かりません。
分かりやすく教えてください。

回答No.2

ticky · ベストアンサー

ごめんなさい！！間違ってますね。

正しくは、
3 + 3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk乗
＝3 + (3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk-1乗)・4
ではなくて、
3 + 3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk乗
＝3 + ( 3 + 3・4 +・・・・+ 3・4のk-1乗)・4
です。

数学的帰納法では、
「n=1 のとき、成立しているかどうか」
「n=k のとき、成立していると仮定して、このときに、n=k+1 でも成立しているかどうか」
の２点を示さなくてはならないので、
n=k+1 のときの式の中に n=k のときの式を探すか、n=k のときの式から n=k+1 のときの式をつくります。

お礼

理解することができました。ありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

別解

3+3・4+3・4^2+3・4^3+・・・+3・4^(n-1)＝4^n－1 ・・・(1)
n=1での確認の後，
(1)式がｎ＝ｋで成立することを仮定すると，
3+3・4+3・4^2+3・4^3+・・・+3・4^(k-1)＝4^k－1
が成立し，
両辺に　3・4^k　を加えると
3+3・4+3・4^2+3・4^3+・・・+3・4^(k-1)+3・4^k
＝4^k－1＋3・4^k
＝(1+3)・4^k－1
＝4・4^k－1
＝4^(k+1)－1
となり，(1)式はn=k+1のときも成立．
以下略．

お礼

こういう解答もあるんですね。参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

ticky

n=1 のとき、成立しているかどうか、
n=k のとき、成立していると仮定して、このときに、n=k+1 でも成立しているかどうか

この２点を示します。

具体的には、たとえば、

「１．n=1 のとき
（左辺） ＝ .....
（右辺） ＝ .....
であるから、（右辺）＝（左辺）、成立する。
２．n=k のとき、成立していると仮定する。
このとき、
3 + 3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk-1乗＝4のk乗 -1
であるから、
3 + 3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk乗
＝3 + (3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk-1乗)・4
＝3+(4のk乗 -1)・4
＝3 + 4のk+1乗 - 4
＝4のk+1乗 -1
以上より、n=k+1 でも成立する。

１，２より、任意の自然数nについて、
3+3・4+3・4の2乗+・・・・+3・4のn-1乗＝4のn乗-1
は成立する」

のようにすればよいでしょう。

補足

3 + 3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk乗
↑からどうやって↓にするのですか？
3 + (3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk-1乗)・4
自分なりにはこう考えたんですけどどうでしょうか。
3 + 3・4 + 3・4の2乗 +・・・・+ 3・4のk-1乗+ 3・4のk乗
初歩的な質問でしたらすみません。
数学はよく分からないんでお願いします。