複素数の問題

質問

以下の各方程式を解く時に、z²=tと置いて解くのは正しいですか？
(1) z⁶=64
(2) z³=i

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>以下の各方程式を解く時に、z^3＝t と置いて解くのは正しいですか？
(1) z^6＝64 / z⁶=64
(2) z^3＝i　/ z³=i

「正しい」か？ と問われて、「間違い」ともいえない。
だが二度手間になり、解きやすくなるともいえない。

参考 URL / 複素数の n 乗根とその図形的意味
　　↓
にあるように、「極形式」を使う解法が簡明。

参考URL：

https://examist.jp/mathematics/complex-plane/njyoukon/

回答No.7

178-tall

ANo.4 の錯誤を訂正。

>以下の各方程式を解く時に、z^3＝t と置いて解くのは正しいですか？

　　　↓

例えば z^6＝64 を解くのに …
　　t^2＝64
　　t＝±8
として、
　t＝8　 → z^3－8＝0 → ？
　t＝－8 → z^3＋8＝0 → ？

… ならば、初めから「極形式」を使うほうが簡明。

回答No.6

noname#246592

(1) z⁶=64

z=r｛cos（θ）＋isin（θ）｝　　（ｒ　>0　、2π>θ≧0　)　とする。
ｚ＾6=ｒ＾6{cos（6θ）＋isin(6θ)}
　　=2＾6{cos（6θ）＋isin(6θ)}

　r=2、2π>θ≧0　、θ=kπ/3　とすると
ｚ=2{cos(kπ/3)+isin(kπ/3)}、　k=　0,　1,　2,　3,　4,　５　とする。

k=0　のとき、z=2｛cos(0)+isin(0）｝=2
k=1　のとき、z=2{cos(π/3)+isin(π/3)}=1+i√3
k=2　のとき、z=2{cos(2π/3)+isin(2π/3)}=-1+i√3
k=3　のとき、z=2{cos(π)+isin(π)}=-2
ｋ=４　のとき、z=2{cos(４π/3)+isin(４π/3)}=-1-i√3
ｋ=5　のとき、z=2{cos(5π/3)+isin(5π/3)}=1-i√3

以上

回答No.5

noname#246592

下の方で、
＞(1)z²=tとすると、tは実数なのでt³=64
複素数の問題と言っておきながら、自分で勝手に
”ｔは実数なので”は誤り。

回答No.3

noname#246592

(1) z⁶=64

（z^3）＾２＝６４
（z^3）＾２-８＾２＝０
｛ （z^3）-８｝｛（z^3）+８｝=0
（z^3）-８=0
z=2

（２）ｚ＾３＝i
z=cos（π/３）＋isin（π/３）

回答No.2

noname#246592

(1) z⁶=64

（z^3）＾２＝６４
（z^3）＾２-８＾２＝０
｛ （z^3）-８｝｛（z^3）+８｝=0
（z^3）-８=0
z=2

回答No.1

f272

まあ，そんな風においてももちろん解けるけど，余り簡単になるとは思えない。
(1)
zの絶対値=64^(1/6)=2
zの偏角=(0+2nπ)/6=nπ/3=0，π/3，2π/3，π，4π/3，5π/3
(2)
zの絶対値=1^(1/3)=1
zの偏角=(π/2+2nπ)/3=(4n+1)π/6=π/6，5π/6，3π/2

補足

(1)と(2)の自分の答案を以下に示します。(間違っていました。)
(1)z²=tとすると、tは実数なのでt³=64
(t－4)(t²+4t+16)=0となり、z²=4よりz=±2

(2)与式よりz⁶=－1
z²=tとすると、t³+1=0となるので、(t+1)(t²－t+1)=0
z²=－1よりz=±i