複素数の問題

質問

次の問題が分からなくて困っています。

a>0とし、z=a+i/√2(ただし、iは虚数単位)とする。また、z+1/zは実数である。
(1)aの値を求めよ。
(2)z^30+1/z^30を求めよ。

答えは(1)は1/√2で、(2)は0です。
数学IIBまでしか習っていない文系なのですが、(2)の解説でド・モアブルの定理というもので解説されてしまっていて理解出来ませんでした。この定理を使わない方法でお願いします。
(1)、(2)どちらも全然理解出来無かったので分かりやすい解説よろしくお願いします(>_<)

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

z = a + i/√2
1/z = 1/(a + i/√2)
= (a - i/√2)/{(a + i/√2)(a - i/√2)}
= (a - i/√2)/(a^2 + 1/2)
z + 1/zは実数（虚部 = 0）であるから、
1/√2 - 1/{√2(a^2 + 1/2)} = 0
1 - 1/(a^2 + 1/2) = 0
a^2 + 1/2 - 1 = 0
a^2 = 1/2
a > 0であるから、a = 1/√2

z = (1 + i)/√2
z^2 = (1 + i)^2/2 = (1 + 2i + i^2)/2 = i
z^3 = (i - 1)/√2
z^4 = -1
z^7 = (1 - i)/√2
z^8 = 1
z^14 = (1 - i)^2/2 = (1 - 2i + i^2)/2 = -i
z^16 = 1
z^30 = -i
1/z^30 = -1/i = i
∴z^30 + 1/z^30 = 0

お礼

お礼が遅れてしまいすみません！
解説分かりやすかったです、ありがとうございました！！

回答No.2

asuncion

z^7 = (1 - i)/√2
z^8 = 1
z^14 = (1 - i)^2/2 = (1 - 2i + i^2)/2 = -i
z^16 = 1
z^30 = -i

ここは、
z^7 = (1 - i)/√2
z^8 = 1
z^15 = (1 - i)/√2
z^30 = (1 - i)^2/2 = (1 - 2i + i^2)/2 = -i
とした方が簡単でした。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました！