数学に詳しい人に質問です。多分、積分を分かってない

質問

数学に詳しい人に質問です。多分、積分を分かってない質問です。
画像の水色を積分したものが赤色なのですか？

だとしたらx-(1/3)x³のこのカッコとr/2と-1は、どうしてここに書くんですか？

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

まず用語を定義しますね(^^)。

　インテグラル記号（積分記号）：∫の上下についてる数値は、定積分の積分区間の上端，下端と言われます。
　被積分関数：1－x^2の積分結果は、［ ］の中の原始関数：x－1/3×x^3です。正確にはこれに定数Ｃを足したものですが、今はＣ＝0としてOKです。

　なんで1－x^2の積分結果がx－1/3×x^3なのか？と言うと、前の質問で言いましたよね。

　　・x－1/3×x^3を「微分したら1－x^2になる事を知ってるから」(^^;)。

　使う公式は3つ。x^nの微分公式、前の質問で出た定数倍の微分公式に、和の微分公式。
　　(1) 和の微分公式からは前の質問でやったように、和の積分公式を導けます。f(x)±g(x)＝∫(df/dx±dg/dx)dx。
　　　 これにより、1－x^2の原始関数を探すには、微分したら1になるもの、微分したらx^2になるものを個々に探し、加えれば良いだけになります。

　　(2) x^n微分公式はd(x^n)/dx＝nx^(n-1)でしたよね？。
　　　 n＝1で考えれば、d(x)/dx＝x^(1-1)＝x^0＝1なので、微分したら1になるものは見つかりました。f(x)＝xです。

　　(3) 微分したらx^2になるものですが、d(x^n)/dx＝nx^(n-1)よりn＝3が臭いです。右辺がx^2になるから(^^)。
　　　 d(x^3)/dx＝3x^2です。しかし3x^2はx^2ではありません。

　　(4) ここで前の質問で出てきた定数倍の積分公式（定数倍の微分公式）を使います。kf(x)＝∫k・df/dx dx。
　　　 定数倍の積分公式によれば、df/dxにかかる係数は望むように調整できます。3x^2の3を1にしたい訳ですから、
　　　 x^2＝1/3×3x^2は明らかなので、∫x^2 dx＝∫1/3×3x^2 dx＝1/3×∫3x^2 dx＝1/3×x^3です（d(x^3)/dx＝3x^2 を使用）。
　　　 微分したらx^2になるものも見つかりました。g(x)＝1/3×x^3です。

　　(5) よって(1)から、∫(1－x^2)dx＝x－1/3×x^3 。これでパズル問題終了です(^^)。

　最後に定積分の場合は、求めた原始関数に積分区間の上端と下端の値を代入し、差っ引く必要があります。差っ引くので、さっきの定数Ｃは0で良いわけです。以上まとめれば、添付図になります。

　添付図に示したように、(a)から(c)に移行するのが差っ引き計算です。ですが(a)から(c)へ直接向かうと、とっても間違えやすそうですよね？(^^;)。原始関数の形が計算過程で担保されないからです。だから(b)を挟みます。こうすると、とっても計算しやすいですよね(^^)。

お礼

とても丁寧な説明で高い水準で良く理解できました。ありがとうございます。

回答No.1

phosphole

それはただの決まり・ルールです。意味を考えても無駄です。