三次式の因数分解

質問

x(y^3-z^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3)の因数分解です。単純にxの降べきの順にして因数分解したところ、(x+y)(z-y)(z+x)(x-y-z)となりました。これでいいんでしょうか？また、降べきの順にするんじゃなくて、もっと賢いやり方があるんじゃないかと思うのですが・・・さっぱりわかりません。教えていただけるとうれしいです。

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

降べきの順にするというのは基本ですから、それでいいと思いますよ。
与式が交代式（説明は他の方がされているので省略）であり、x-y,y-z,z-xを因数に持つということに気づけば、降べきの順の後の作業が楽になります。（変形が考えやすいということ）

x(y^3-z^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3)
=xy^3-z^3x+yz^3-x^3y+zx^3-y^3z
　xについて降べきにする
=(z-y)x^3+(y^3-z^3)x+yz^3-y^3z
=-(y-z)x^3+(y-z)(y^2+yz+z^2)x-yz(y-z)(y+z)
=-(y-z){x^3-(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)}
　次はyについて降べきにする
=-(y-z){(z-x)y^2+yz(z-x)-x(z-x)(z+x)}
=-(y-z)(z-x){y^2+yz-x(z+x)}
　次はzについて降べきにする
=-(y-z)(z-x){-(x-y)z-(x-y)(x+y)}
=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)

となります。

お礼

計算式まで教えていただき感激です。因数分解は自分の知ってる公式を駆使して答えを導きだすセンスが必要だと思いますが、いまいちよくわからずにいました。（とくに３次以上の因数分解など）やり方を導き出す大きなヒントを頂きました。ありがとうございました。

回答No.3

ticky

交代式というのは、xをyに、yをzに、zをxに入れ換えた式が、元の式にマイナスを掛けた物になる式、ですね。
交代式は、因数に(x-y)、(y-z)、(z-x)を持つのです。

今でも教科書には載っていないだろうし、進学校でも習わないところも多いと思いますが、知っていると何かと楽です。

例えば、降ベキの順に直すにしても、
xについて降ベキの順に直すと(y-z)が因数だと分かると思います。
ここで(y-z)をくくり出すと、残るのはよく分からない式ですが、先ほどxについて降ベキの順に整理したので、今度はzについて降ベキの順に直すと、(x-y)をくくり出せることに気づくでしょう。
同様に、(x-y)を外に出すと、今度はyについて降ベキの順になおせば、(z-x)を外に出せること気づくでしょう。
残るのは(x+y+z)です。

交代式だと分かっていると言うことは、途中で変な因数が出てきたりしたら間違いだと分かると言うことで、因数分解そのものは自力でやる必要があると思います。

お礼

「交代式は、因数に(x-y)、(y-z)、(z-x)を持つのです。」これは、もうそういうもので、因数は(x-y)、(y-z)、(z-x)だと覚えておくけばいいですね。ありがとうございました。計算間違いをしていないか心配しながらの因数分解だったのですが、自信を持って因数分解ができます。「元の式にマイナスを掛けた物になる式」っていうのがまだちょっと意味がわからないのですが。

回答No.2

matherlake

交代式、すなわち、(ｘにｙを代入すると式は０になる）→だから（この式は（ｘ－ｙ）を因数に持つ）。同様に、この式は（ｙ－ｚ）、（ｚ－ｘ）も因数に持つ。従って因数分解の形は、（ｘ－ｙ）×（ｙ－ｚ）×（ｚ－ｘ）×？の形になる。

この方針のもと、式を並べ替えて、まず（ｘ－ｙ）で因数分解できるように変形し、（ｘ－ｙ）×（省略式１）にします。順に、省略式１＝（ｙ－ｚ）×（省略式２）、省略式２＝（ｚ－ｘ）×（ｘ＋ｙ＋ｚ）となります。

従って正解は（ｘ－ｙ）（ｙ－ｚ）（ｚ－ｘ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）となります。

３次式の因数分解には、交代式の理解は不可欠ですので、集中的にこの部分をマスターしたほうがいいと思います。そんなに難しいことではないので。

お礼

交代式、初めて知りました！共通因数がわかっていて因数分解するのと、知らずに因数分解するのでは、雲泥の差ですね。（因数定理のようなものと考えればいいのでしょうか？）
ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.1

wondercraw

交代式ですから

(x+y)(z-y)(z+x)(x-y-z)

という答えは違うのでは？