非線形微分方程式の数値シミュレーション

質問

ある非線形微分方程式の安定固定点を数値シミュレーションで調べています．その非線形微分方程式にはa,b,c,d,e,fの６つの無次元パラメータが存在します．

これらのパラメータのうち，a>50であることが安定固定点の必要条件であることを証明するためには，a>50以外のすべてのパラメータ条件において数値シミュレーションを実行してその結果のすべてが不安定固定点であることを示した上で，a>50の場合のすべてのパラメータ条件においてシミュレーションを実行して安定固定点が存在することを確かめる，という方法しかないのでしょうか？

無次元パラメータがa~fの６つもあり，それぞれのパラメータa~fの取りうる範囲は0から1刻みで100まであるため，すべてのパラメータ条件を数値シミュレーションするには時間が掛かりすぎます．（例えば，もし，微分方程式の無次元パラメータがaとbの２つのみであれば，100x100=10000，つまり10000通りのシミュレーションをすればよいのですが，6つだと100^6のシミュレーションが必要になり，時間が掛かりすぎてしまいます．）

もっと短時間で，「a>50であることが安定固定点の必要条件である」ことを証明する方法はないでしょうか？

よろしくお願いします．

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

一つの手としては、0から10刻みで1パラメータあたり10個って手はありますよね。これなら10^6＝100万ケースで、現在のPCの速さを考えれば、力任せに出来そうではあります。10個じゃ少ない気もしますが、それはパラメータ変化に対する数値結果の挙動の程度で、グラフにした時、そんなに複雑な挙動でなければ、10個程度でもOKかも知れません。自分はけっこう、こういう事をやります(^^;)。
　加えてb～fの変化が、aの変化より大きい影響を与えないであろうという理論的考察、あるいはグラフの結果をもとにした定量的考察を加えれば、リジェクトは回避できそうな気もします(^^)。

　ところで質問者様は、非線形力学系の本も読まれていませんでしたっけ？（記憶違いかも知れませんが）。そこで不動点（固定点？）近傍で流れを線形化し、線形系の理論を適用して安定かどうかを判定するか、リヤプノフ関数を使うという話はありませんでしたか？。線形系ならいちおう、パラメータa～fが可変でも計算可能です。「もうやったよ！」と言われそうですが・・・(^^;)。

お礼

いつもお世話になっております．丁寧に教えて頂き，本当にありがとうございます．（また，慣性力の件，詳しくご解説頂きありがとうございます．じっくり勉強して後ほどお礼コメントさせて頂きます．）

＞加えてb～fの変化が、aの変化より大きい影響を与えないであろうという
＞理論的考察、あるいはグラフの結果をもとにした定量的考察を加えれば、
＞リジェクトは回避できそうな気もします

ありがとうございます．パラメータを粗くするのは難しいかもしれないので，上記のような考察ができないか検討してみようと思います．

＞非線形力学系の本も読まれていませんでしたっけ？（記憶違いかも知れませんが）。
＞そこで不動点（固定点？）近傍で流れを線形化し、線形系の理論を適用して安定か
＞どうかを判定するか、リヤプノフ関数を使うという話はありませんでしたか？。

仰る通りです，覚えて下さっていて嬉しいです．はい，固定点近傍で線形近似して，そのヤコビ行列の固有値を数値的に求めて，安定判別(固有値の絶対値が１未満なら漸近安定)をしております．

シミュレーション対象は，具体的には，ある非線形動力学系（機械振動系）に配置されているバネを，通常の線形ばねにすると安定固定点が見つからないのですが，非線形バネにすると安定固定点が見つかるのです．実際やったことは，質量A，質量B，慣性モーメントA，慣性モーメントB，粘性減衰係数，リンク長をある適当な値に固定した状態で，線形バネと非線形ばね，それぞれの場合について，バネ定数に対する固有値絶対値との関係をグラフにプロットし，非線形ばねの時だけ，固有値絶対値が１をしたまわったので，論文に「この系の固定点の安定性には，バネの線形・非線形が大きく影響する」と結論付けて，投稿したのです．そうすると査読者からは，「バネ定数以外のパラメータは変えていないんだよね（ある一組でしかやっていないんだよね）そうすると，質量比とか慣性モーメント，粘性減衰係数などを違う値に変えたら，線形バネでも安定固定点が見つかる可能はあるよね？」と査読が返ってきてリジェクトでした．そう言われると何もいえないのですが，，，ただ，６つもあるパラメータをすべて検証するのは現実的に無理なので，どうしようかなと途方に暮れていたところでした．．．

補足

お礼コメントの補足です．

質問文では，話を簡単にするために「a>50であることが安定固定点の必要条件であることを」と記載しましたが，実際には，「非線形バネであることが安定固定点の必要条件であることを」となります．

回答No.1

f272

証明するのであれば，数式から解析的にわかるという場合以外だと，すべての場合を計算するしかありません。でもパラメータが連続的な値をとる場合にはそもそもすべての場合を計算することはできません。
証明するのではなければ，パラメータをランダムに決めて計算することで，a>50であることが安定固定点の必要条件である確率が高いことが言えるようになります。

お礼

ご回答ありがとうございます．やはりすべてを調べるしかないのですね．．

以前に，a以外のパラメータであるb,c,d,e,fはそれぞれ適当な値に固定して，aだけを0から1刻みで100まで変化させながらそれぞれシミュレーションした結果，a>50の時に安定固定点が得られたので，「安定固定点の生成にはパラメータaが大きく影響する」という結論で論文投稿したところ，「すべてのパラメータで検証していないから(b~fのパラメータを変化させた時のシミュレーションがされていないから)，あなたの主張は妥当とは言えない」という査読コメントでリジェクトされました．論文に採択されるためには，どのようなパラメータ条件でシミュレーションすればよいか悩んでいて，今回質問させて頂きました．ありがとうございました．