下記の非線形微分方程式が解けなくて困っています。

質問

下記の非線形微分方程式が解けなくて困っています。
誰かとき方を教えてくれませんか。

dy/dt=2c(y)-b(y^2)-a(y^3); a,b,c は定数です。

よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

dy/dt=2c(y)-b(y^2)-a(y^3)=-ay(y^2+by/a-2c/a)
y^2+by/a-2c/a=0が実根を持つか虚根を持つかで扱いは変わりますが
とりあえず実根p,qを持つ時、
dy/dt=2c(y)-b(y^2)-a(y^3)=-ay(y-p)(y-q)
dy/y(y-p)(y-q)=-adt
1/y(y-p)(y-q)=r/y+s/(y-p)+t/(y-q)
となるようにｒ、ｓ、ｔをきめる。
このとき積分して
rlogy+slog(y-p)+tlog(y-q)=-at+c

qed

お礼

とても参考になりました。
これを使えば解けると思います！早速やってみます。

ありがとうございました。

回答No.3

nag0720

＃２の補足

(1)～(5)はa≠0の場合でした。

(6)a=0,b≠0,c≠0の場合
(7)a=0,b≠0,c=0の場合
(8)a=0,b=0,c≠0の場合
の場合も部分分数の分解方法が違います。

次の場合も当然微分方程式の解が違ってきます。
(9)a=0,b=0,c=0の場合

回答No.2

nag0720

dy/dt=2cy-by^2-ay^3
a=b=c=0でないとすると、
(1/(2cy-by^2-ay^3))dy/dt=1
∫(1/(2cy-by^2-ay^3))dy=t+C

1/(2cy-by^2-ay^3)を部分分数に分解できれば積分できます。

2cy-by^2-ay^3=0の１つの解はy=0ですが、あと２つの解が、
(1)虚数解を持つ場合
(2)0以外の２つの異なる実数解を持つ場合
(3)0以外の重解を持つ場合
(4)0と0以外の解を持つ場合
(5)0の重解を持つ場合
でそれぞれの部分分数の分解のしかたが違ってきます。

お礼

ありがとうございます。助かりました。