(a+b)!>a!b! これは正しいですか？

質問

(a+b)!>a!b!　これは正しいですか？証明はできないのですが絶対的な自信があります。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

aとかbは非負整数だとしていいですか？以下はそのつもりで。
(a+b)!/(a!b!)は組み合わせ(a+b)C(a)に等しいですから当然に1以上の整数になります。つまり(a+b)!≧(a!b!)です。
等号が成立するのはa=0またはb=0のときですね。

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます！

回答No.4

178-tall

> (a+b)！＞ a！b！

成立しない例。

　a=0 のケース
　　↓
　左辺； (a+b)！= b！
　右辺； a！b！= b！
　　↓
　(a+b)！= a！b！

回答No.3

matelin

こんばんは。

ａもｂも負でない整数とする時、（ａ＋ｂ）！≧ａ！ｂ！　…（*）
（*）の命題が成り立つ事は、数学的帰納法を使えば、簡単に証明できますよ。
以下にその証明を示します。

ｂ＝０の時、（*）は明らかに成立する。
ｂ＝ｎ（ｎは負でない整数とする）の時、（*）の命題が成り立つと仮定する。
すなわち　（ａ＋ｎ）！≧ａ！ｎ！　…（**）　は成り立つと仮定する。
ｂ＝ｎ＋１　の時について
（（*）の左辺）＝（ａ＋ｎ＋１）！＝（ａ＋ｎ＋１）×（ａ＋ｎ）！
　　　　　　≧（ａ＋ｎ＋１）×ａ！ｎ！　　　⇦ここでは（**）を用いた。
　　　　　　≧（ｎ＋１）×ａ！ｎ！　　　⇦ここでは（ａ≧０）を用いた。
　　　　　　＝ａ！（ｎ＋１）！　
この結果は、（*）が　ｂ＝ｎ＋１　の時にも成り立つことを示す。
以上より、（*）は成り立つと言える。

回答No.1

koncha108

a≧ｂ>2として（>2としたのは、下記の表記が対応するためで、2以下でも考え方は同じ）
（a+b)!
=(a+b)*(a+b-1)*...*(b+1)*b!
ｂb!の前が何個の数の積になっているかというと、
(a+b)-(b+1)+1=a

(a+b)>a
(a+b-1)>a-1
...
(b+1)>1

がそれぞれ成り立つので、上のa個の不等式の左辺と右辺をそれぞれ掛け合わせたときに、
（a+b)*(a+b-1)*...*(b+1)> a!
も成り立ち、それぞれにb!をかけた、

（a+b)*(a+b-1)*...*(b+1)*b!> a!b! すなわち、
(a+b)!>a!b!
もなり立つ。

b>aの場合も同様。