A>BでAがBの倍数でなくてA=C、C<Bになるま

質問

A>BでAがBの倍数でなくてA=C、C<BになるまでCにC-Bを代入する時、C = A-B(A/B)
になることの証明が分からないんですけどどなたかご教示願います

回答No.1

vgemash

まず、AがBの倍数でないという条件から、AをBで割った余りが0ではなく、r (0<r<B) であるとします。つまり、A = Bq + r と表すことができます。ここで、qはAをBで割った商です。
このとき、CにC-Bを代入する操作を繰り返していくことを考えます。最初の代入によって、Cは A-B になります。次に、CにC-Bを代入することを考えます。

C-B = (A-B) - B = A-2B

このように、C-BによってBが2倍になり、A-Bから減算されることが分かります。これを繰り返すと、CはAをBで割った商qに等しくなります。
なぜなら、Cの値は A-B、A-2B、A-3B、...、A-kB (kB < C < (k+1)B) というように、Bがk回ずつ減算された値として表せるためです。
また、C<Bという条件から、kB < A であり、kB + B > A であることが分かります。従って、上式においてkはA/Bの整数部分qに等しく、C=A-B(A/B) が導かれます。