置換積分

質問

∫(1→2√2)√(1+x^2)/xdxにおいて、 √(1+x^2)=t とおくと、x^2=t^2-1 、2xdx=2tdt、 dx=t/xdt
ここからが質問したい箇所です。dx=t/√(t^2-1)dtが正解なのですが、x^2=t^2-1より、x=±√(t^2-1)にならない理由を説明してください。どなたかお願いします。

回答No.2

info222_

>x=±√(t^2-1)にならない理由を説明してください。

置換積分では置換前 と置換後の変数を1:1に対応させなくてはならない。
>√(1+x^2)=t とおくと
なので このようにおいた時点で x と t の間には1:1の対応関係がなくてはならない。
x は積分範囲から x:1→ 2√2 つまり 1≦x≦2√2 なので
t は √(1+x^2)=t から t:√2 → 3 つまり √2≦t≦3 となります。

つまり置換積分では
「√(1+x^2)=t (1≦x≦2√2, √2≦t≦3) とおくと」
または 簡単に
「√(1+x^2)=t (0≦x, 1≦t) とおくと」
と置換積分変数の範囲を指定して 1:1 の対応関係( 条件 )を書くようにしてください。
そうすれば
>x^2=t^2-1
からは (0≦x, 1≦t) または (1≦x≦2√2, √2≦t≦3)より
x=√(t^2-1)
しか出てこないでしょう 。

[ポイント]
<<置換積分では置換前 と置換後の変数を1:1に対応させなくてはならない。>>
ということをしっかり覚えておくようにして下さい。

お礼

詳しい計算ありがとうごうざいます。

回答No.1

tmppassenger

元々の積分範囲で、xは1から2√2まで動かすのだから、正でしょう？

お礼

お返事ありがとうございます。