指数関数

質問

途中まで考えましたが、答えまでたどりつきませんでした。よろしくお願いします。

回答No.4

staratras

No.2です。最後の部分の等号が欠けていました。ひとことで言うと、X>0の範囲でy2がy1に接する場合はy1=y2となるaの値は題意を満たさないが、X=0でy1とy2が交わる場合はy1=y2となるaの値も題意を満たすということです。

【誤】３）a>0 つまり-a<0のときy2は右下がりの直線だからy2が放物線y1上の点(0,1)を通るときが境界。このとき1=-a(0-1)よりa=1 だから　0<a<1

【正】a>0 つまり-a<0のときy2は右下がりの直線だからy2が放物線y1上の点(0,1)を通るときが境界。このとき1=-a(0-1)よりa=1 このときy1=y2 となるが、X=0なので　X>0の範囲ではy1>y2 を満たす。
したがって 　0<a≦1

１)２)３) をまとめて、-8-4√5<a≦1

お礼

ありがとうございました

回答No.3

info33

No.1です
ANo.1 訂正です
誤∴ -8-4√5 < a <1
正∴ -8-4√5 < a ≦1

----------------
[76]
4*2^(2t) +1 a(2^t -1)>0
t=2^x (t>0) とおく。

4t^2+1+a(t-1)>0

f(t)=4t^2+1+a(t-1) とおく。

t>0 で f(t)>0 を満たすaの範囲を求める。

y=f(t)= 4t^2+1+a(t-1)は (t,y)=(1,5) を通る。

t = -a/8 <0 の時(a>0) f(0)=1-a ≧ 0 a ≦1, f(t)>0 (t>0),
∴0<a ≦1.
t= -a/8=0 の時 (a=0) f(t)=4t^2 +1>0, ∴a=0.
t= -a/8 >1の時(a<0) f(-a/8)=0, 判別式D=a^2+16a-16=0, a= -8-4√5 より
0>a> -8-4√5 の時 f(t)>0,, ∴-8-4√5 < a <0

以上 まとめて
∴ -8-4√5 < a ≦1

お礼

ありがとうございました

回答No.2

staratras

2^x=X とおく（X>0）と与えられた不等式はX^2+aX+1-a>0
すなわち4X^2+1>+a-aX、4X^2+1>-a(X-1) と変形できる。

y1=4X^2+1,y2=-a(X-1) とすると、題意はX>0の範囲で常にy1>y2 となるようなaの値を求めることである。下のグラフ（x軸とy軸の比率は1:1ではない）でy1は下に凸の放物線、y2は点(1,0)を通り、傾きが-aの直線である。

１）a<0 つまり-a>0のときy2は右上がりの直線だからx>0の範囲でy1とy2が接するときが境界。y1=y2とおいて整理すると、4X^2+aX+1-a=0　
判別式a^2-4・4(1-a)=0 よりa=-8-4√5だから、-8-4√5<a<0

２）a=0 のときy2=0 となり、y1>y2を満たす。

３）a>0 つまり-a<0のときy2は右下がりの直線だからy2が放物線y1上の点(0,1)を通るときが境界。このとき1=-a(0-1)よりa=1 だから　0<a<1

1)2)3)をまとめて、-8-4√5<a<1

お礼

ありがとうございました

回答No.1

info33

[76]
t=2^x (t>0) とおく。
f(t)=4t^2+1+a(t-1)
y=4t^2+1+a(t-1)は (t,y)=(1,5) を通る。

t = -a/8 <0 の時 f(0)=1-a>=0
1>a>=0 の時 f(t)>0
t= -a/8 >1の時 f(-a/8)=0, D=a^2+16a-16=0, a= -8-4√5
0>a> -8-4√5 の時 f(t)>0

以上 まとめて
∴ -8-4√5 < a < 1

お礼

ありがとございました