三角関数

質問

問題も多く、大変かと思いますがよろしくお願いします。

回答No.1

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x=cost, y=sint (0≦t<2π) と置く

f(x,y)=3x^2+2xy+y^2
=3cost^2+2cost sint+sint^2
=2cost^2+2cost sint+1
=sin2t +cos2t +2
= √2 sin(2t+π/4) +2=K
π/4≦2t+π/4< 17π/4
2-√2≦ K ≦ 2+√2

最大値 K = 2+√2
この時
2t+π/4=π/2, 5π/2
t=π/8, 9π/8
(x,y)=(cos(π/8),sin(π/8)), (-cos(π/8),-sin(π/8)),
ここで
cos(π/8)=√(2+√2)/2 ,sin(π/8)=√(2-√2)/2

最小値 K = 2-√2
この時
2t+π/4=3π/2, 7π/2
t= 5π/8, 13π/8
(x,y)=(-sin(π/8),cos(π/8)), (sin(π/8),-cos(π/8))