三角関数

質問

数学の問題が解けません。どのようにしていたらいいのか見当もつかず、困っています。
だれかわかるかた、教えていただませんか？

問 直角をはさむ辺の長さを12cm,5cmとし、斜辺の長さを13cmとする。このとき、辺13cm,12cmをはさむ角の大きさは何度か？

自分の考え
cosθ = 12/13 の12/13の値に最も近い、θの値を探していけばいいと思思ったため、関数電卓でθの値は求めることができる。

この問題は、中学か高校の入試問題らしいのですが、
この問題を解く上で、高校までの知識でどのように解いたらいいのでしょうか？

回答No.6

Mr_Holland

三角関数表を使う方法は、いかがですか。
　この方法を使えば（最小刻み以下は線形補完して）、θ＝２２．６°　まで求めることができます。
http://www7a.biglobe.ne.jp/~yma/others/trigonometric_func.pdf

　三角関数表がないのであれば、簡単に、次のように考えてもよいと思います。

　問題の三角形を辺長１２ｃｍの線分を軸にして対称移動させ、元の三角形と合わせて、辺長が１３ｃｍ、１３ｃｍ、１０ｃｍの二等辺三角形を作ります。
　このとき、頂角は２θになりますが、ここで余弦定理を使ってcos２θを求めますと、

　　cos２θ＝119/169≒０．７０４≒１／√２

となりますので、　２θ≒４５°　と見なせます。
　ここから、　θ≒２２．５°　と考えてもよいように思います。

回答No.5

noname#101087

>{sqrt(1+tan a) - 1}/(tan a) になるのがわかりません。

tan の倍角公式は、
　tan(2b) = 2*tan(b)/{1 - tan^2(b)}
ですね。
これを tan(b) の二次方程式とみなした根のひとつです。
< tan(2b) は既知 >

回答No.4

noname#101087

>１..... なぜ半角の公式をつかうのですか？

垂辺 がほぼ 2 倍の 12 cm の 45 度からスタートすれば、半角の 22.5 度が原題の解の近似値を与えてくれそうだから。
これを思いつかなければ、ほかの手を考えねばなりませんね。

　>２初期近似が 22.5 度。　というのは、どのように求めたでしょうか？

注記したように、tan の半角公式で tan(22.5 度) を求めたんです。
　tan(a/2) = sqrt{(1-cos a)/(1+cos a) = {sqrt(1+tan a) - 1}/(tan a)

補足

回答ありがとうございます。

また質問なのですが、
半角の公式で、tan(a/2) = sqrt{(1-cos a)/(1+cos a) は
わかったのですが、それが、{sqrt(1+tan a) - 1}/(tan a)
になるのがわかりません。
そのようにして、式変形したのでしょうか？

回答No.3

noname#101087

>直角をはさむ辺の長さを12cm,5cmとし、斜辺の長さを13cmとする。このとき、辺13cm,12cmをはさむ角の大きさ x は何度か？

tan(x) = 5/12 ≒0.414　ですね。

　・直角をはさむ辺の長さを12cm,12cmとすれば、角の大きさは 45 度。
　・tan(45 度) = 1.00
　　↓ 半角公式
　・tan(45 度/2)≒0.417

初期近似が 22.5 度。
あとは近似精度をあげる勘定なのでしょうが、高校レベルなら楽勝なのでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。
質問が２つあります。
１・tan(45 度) = 1.00
　　↓ 半角公式
　・tan(45 度/2)≒0.417
　という箇所で、なぜ半角の公式をつかうのですか？
　tan(45 度/2)で、求めたい角度が求められるといのがいまいち理解で
　きません。
２初期近似が 22.5 度。
というのは、どのように求めたでしょうか？
三角関数表をみるってことでしょうか？

教えてください。おねがいします。

回答No.2

spring135

苦し紛れです。
θ(ラジアン）が小さい時
sinθ≒θ
この問題ではsinθ＝5/13=0.38
よってθ(ラジアン)≒0.38
θ(°)≒0.38*180/3.14＝21.8°
正解は22.6°、１°ずれました。
なお、ラジアンと°の関係が分かっている必要があります。

補足

回答ありがとうございます。

質問なのですが、
θ(°)≒0.38*180/3.14＝21.8°
のところで、なぜ、0.38*180/3.14をするのかわかりません。

これは、公式なのでしょうか？
教えてください。
おねがいします。

回答No.1

kt1965

高等学校では、多分「arccos（アークコサイン）」は教わっていないはずですので、関数電卓か三角関数表で求めるしかないですね。

あとは、作図して、「分度器」で「角度」を測定するしかないと思います。中学・高等学校の試験だと、多分そうしているでしょう。

大学の試験の場合だと、無理やりcosθ=12/13より、cosθ≒1。よって、cosθ≒90度になりますが・・・三角形として成立していないので、この回答を却下するでしょう。

あえて大学の場合には、arccosθの値に近い問題を用意して、その後、そのような問題を解いてもらうようにするかも知れません。