微分に関する質問です

質問

dF=(x^2-y)dx+xdy
dG=(１/x^2)dF
それぞれが完全微分かどうか判定せよ
この問題が分かりません…
完全微分の定義は経路に関係せず一致する、ということはわかっているのですが個々の式が完全微分であることを確認するにはどのような操作が必要なのでしょうか？

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

おそらく、微分方程式、
(x^2 - y)dx + xdy = 0 .... (*)
を解く問題が元であると思います。
(*)は完全微分形ではありません。
∵ (∂/∂y)(x^2-y) ≠ (∂/∂x)(x).
そこで、(*)を「完全」にするべく両辺にかける関数(積分因子)が、 1/x^2 です。
dG=(1 - y/x^2)dx + (1/x)dy ...(**)
に関しては、(∂/∂y)(1 - y/x^2) = (∂/∂x)(1/x) = -1/x^2.
と「完全形」となり、G(x, y) = x + y/x = C, (C:定数) が dG=0 の解です。

お礼

ありがとうございました！理解できました！