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微分可能
y＝f(x)(x≦c), y＝g(x)(c＜x) がx＝cで微分可能かどうかを調べるとき lim_{x→c-0}df(x)/dx lim_{x→c+0}dg(x)/dx をそれぞれ求めて考えてもよいですよね？ 記憶が定かではないのですが、予備校の教師が微分可能性を調べるときは定義からやれといっていたような覚えがあるのですがどうでしょうか？
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No.3の回答を書いていて思ったのですが、たとえばこんな問題でしょうか。 ----------------- f(x)=x, g(x)=ax^2 + b x≦1のとき h(x)=f(x), x＞1のときh(x)=g(x) h(x)が微分可能になるようにa,bを定めよ。 ----------------- これは、f(1)=g(1)、かつ f'(1)=g'(1) となるようにa,bを定めればよいです。それで微分可能になります。しかし、入試で、大学によっては微分の定義にもどって求めないと減点になるという話があり（真偽は知りません）、予備校講師として安全策を教えたのではないでしょうか。 以前、似た質問に回答したことがあります。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1415208
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- jmh
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> …をそれぞれ求めて考えてもよいですよね？ 「ｙが連続、ｘ＝ｃ以外の点で微分可能、ｙ’のｘ→ｃ±０での値が一致する、ならば、ｙはｘ＝ｃにおいても微分可能」か？ …という意味ですか？
お礼
そういうことです。
- shkwta
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ご質問の式 lim_{x→c-0}df(x)/dx＝lim_{x→c+0}dg(x)/dx [ア] は、c点において導関数の右極限と左極限が一致するという条件ですが、これは「cで微分可能」とは別物です。 (1)[ア]が不成立で、cで微分可能 (2)[ア]が成立で、cで微分可能 (3)[ア]が不成立で、cで微分不可能 (4)[ア]が成立で、cで微分不可能 の４つの場合がすべて存在します。 （例）c=0の場合 (1)x=0のときy=0, x≠0のときy=(x^2)sin(1/x) (2)y=x (3)y=|x| (4)y=[x] ([x]はガウス記号：xを超えない最大の整数） 微分可能の条件は、 a(c)=lim{x→c-0}(f(x)-f(c))/(x-c) b(c)=lim{x→c+0}(g(x)-f(c))/(x-c) で表されるa(c),b(c)が存在し、かつa(c)=b(c) としてください。 ※２番目の式のカッコの中のf(c)は、g(c)でないので注意してください。 a(c),b(c)が存在すればcで連続なので、別に連続の条件は必要ありません。
- sunasearch
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＞右極限と左極限が一致するかしないかで y=x(x≠0) y=100 (x=0) はx=0で微分不可です。 つまり、関数が連続であることも証明する必要が出てきます。
補足
連続でなければ微分不可能なので今回のようなことはしませんよね。 定義によって判定するわけでもないではないですか。 今回は連続であるという仮定のもと、お願いします。 わからずやで申し訳ないですが、この説明では納得できません。 連続という条件を足しておきます。 lim_{x→c-0}f(x) = lim_{x→c+0}g(x)
- sunasearch
- ベストアンサー率35% (632/1788)
関数の極限と、微分可能性は違います。 例えばｙ＝｜ｘ｜をｘ＝０で微分することを考えると、 極限は求まりますが、ｘ＝０では微分不可能です。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD#.E5.BE.AE.E5.88.86.E6.B3.95.E3.81.A8.E5.BE.AE.E5.88.86.E5.8F.AF.E8.83.BD.E6.80.A7 先生のおっしゃるように、定義からやりましょう。
補足
早速の回答ありがとうございます。 >極限は求まります それはわかります。 右極限と左極限が一致するかしないかで微分可能不可能を判定できないのですか？ lim_{x→c-0}df(x)/dx lim_{x→c+0}dg(x)/dx が一致すれば微分可能、一致しなければ微分不可能とはできないのですか？ lim_{x→+0}d|x|/dt＝1≠-1＝lim_{x→-1}d|x|/dt で微分不可能と判定することができるのではないでしょうか？ これは lim_{h→+0}(|0 + h| - |0|)/h＝1≠-1＝lim_{h→-0}(|0 + h| + |0|)/h と同じ(同値?)ではない？
補足
どうもありがとうございます。 例えばそんな感じですね。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1415208 であげられた定理のことを聞いていたようですね。 厳密に言えばg´(1)は極限をとってあげな駄目ですよね。 連続を前提に言えば、僕の上げた命題は成立でよいのですね。