微分方程式

質問

ｘｄｙ／ｄｘ＝ｙ＋√(ｘ＾２＋ｙ＾２)

これの一般解の求め方を教えてください。
独学で微分方程式の勉強をしているので、申し訳ないですが、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

ｘｄｙ／ｄｘ＝ｙ＋√(ｘ＾２＋ｙ＾２)

この与えられた微分方程式の両辺に 1/x を乗ずる．

dy/dx＝y/x＋(1/x)√(x^2＋y^2)

変形すると

dy/dx＝y/x＋√[(1/x^2)(x^2＋y^2)]

dy/dx＝y/x＋√(1＋y^2/x^2)

ここで，

　u＝y/x

とおく．この　u＝y/x　の両辺を微分すると，

　du/dx＝(xy'－y)/x^2

となる．y' は dy/dx を表す． y' について解くと，

　x^2 du/dx＋y＝xy'

　y'＝x du/dx＋y/x

u＝y/x を用いると，

　y'＝dy/dx＝x du/dx＋u

これにより微分方程式　dy/dx＝y/x＋√(1＋y^2/x^2)　は，

dy/dx＝y/x＋√(1＋y^2/x^2)＝x du/dx＋u

u＝y/x だから，この式は，

u＋√(1＋u^2)＝x du/dx＋u

したがって，

x du/dx＝√(1＋u^2)

となる．この式を変形して，積分する．

du/√(1＋u^2)＝1/x dx

c を積分定数として積分すると，

∫du/√(1＋u^2)＝∫1/x dx＋c

log[u＋√(1＋u^2)]＝log(x)＋c

ここで， c＝log(C), (C≠0) とすると，

log[u＋√(1＋u^2)]＝log(x)＋log(C)

log[u＋√(1＋u^2)]＝log(Cx)

自然対数 log(・) をはずして，

u＋√(1＋u^2)＝Cx

となります．u＝y/x なので，これにより

y/x＋√[1＋(y/x)^2]＝Cx

これが，与えられた微分方程式の一般解です．変形して

y＋√[x^2＋y^2]＝Cx^2

とも書けます．この一般解を微分して得られる式と，
一般解の y＋√[x^2＋y^2]＝Cx^2 から C を消去すると，
与式：ｘｄｙ／ｄｘ＝ｙ＋√(ｘ＾２＋ｙ＾２)となります．

お礼

すごく、わかりやすいです。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

同次形の微分方程式だなぁ.
y = ux (u は x の関数) とおく.

お礼

同次形ってあの複雑なやつかぁ↓